Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
x in R, para todo .

Passo 1

O exercício pede para decidirmos se a equivalência x^2+1<2Leftrightarrow(x^2+1)^2<4 vale para todo xinR. O conteúdo envolvido é inequações e monotonicidade da função quadrado em [0,infty).

Passo 2

Para qualquer xinR vale x^2+1>=1>0, de modo que podemos aplicar a função tmapsto t^2 em [0,infty) sem inverter o sentido da desigualdade.

Passo 3

Da desigualdade x^2+1<2 segue, por monotonicidade de t^2 em [0,infty), que (x^2+1)^2<2^2=4.

Passo 4

Reciprocamente, se (x^2+1)^2<4, seja t=x^2+1>=1. Da desigualdade t^2<4 obtemos 0<= t<2, logo x^2+1<2.

Passo 5

Como ambas as implicações ocorrem para todo x, concluímos que a equivalência é verdadeira em R.

Resposta

Verdadeira.

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