Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :

Passo 1

Nesse exercício a gente estudará a função f(x)=2x{3}+9x{2}-24x+2. O que precisamos: determinar o domínio; achar a derivada primeira para ver onde f cresce ou decresce e assim encontrar extremos relativos; achar a derivada segunda para estudar concavidade e identificar pontos de inflexão; e finalmente esboçar o gráfico.

Passo 2

O domínio de um polinômio de grau 3 é sempre todo o conjunto dos números reais. Logo, Dom(f)=ℝ.

Passo 3

Calculando a derivada primeira temos:
f'(x)=ddx(2x^3+9x^2-24x+2)=6x^2+18x-24=6(x^2+3x-4)=6(x+4)(x-1)
As raízes de f’ são x=-4 e x=1, que são os pontos críticos.

Passo 4

Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f’(x)=6(x+4)(x-1):
  • Se x<-4, então (x+4)<0 e (x-1)<0, produto positivo ⇒ f’>0 ⇒ f crescente em (-∞,-4).
  • Se -4<x<1, então (x+4)>0 e (x-1)<0, produto negativo ⇒ f’<0 ⇒ f decrescente em (-4,1).
  • Se x>1, então (x+4)>0 e (x-1)>0, produto positivo ⇒ f’>0 ⇒ f crescente em (1,∞).
    Assim, há máximo relativo em x=-4 e mínimo relativo em x=1.

Passo 5

Calculando a derivada segunda para concavidade:
f''(x)=ddx(6x^2+18x-24)=12x+18=12(x+1.5)
A inflexão ocorre quando f’’(x)=0, i.e. x=-1.5, com f(-1.5)=2(-1.5){3}+9(-1.5){2}-24(-1.5)+2=51.5.
Para x<-1.5, f’’<0 ⇒ côncava para baixo; para x>-1.5, f’’>0 ⇒ côncava para cima.

Passo 6

Avaliação dos extremos relativos:
  • Em x=-4: f(-4)=2(-4){3}+9(-4){2}-24(-4)+2=-128+144+96+2=114 ⇒ máximo relativo em (-4,114).
  • Em x=1: f(1)=2+9-24+2=-11 ⇒ mínimo relativo em (1,-11).
    Como é um polinômio de grau ímpar, f(x)→-∞ quando x→-∞ e f(x)→+∞ quando x→+∞, logo não há extremos absolutos.

Passo 7

Com todas as informações podemos esboçar o gráfico: um cuboide que sobe em (-∞,-4), atinge máximo em (-4,114), desce até (1,-11), e sobe de novo até +∞, com ponto de inflexão em (-1.5,51.5) onde muda concavidade.

Resposta

Domínio: R
Crescente em (-)infty,-4)cup(1,infty)
Decrescente em (-4,1)
Concavidade: côncava para baixo em (-)infty,-1.5), côncava para cima em (-1.5,infty)
Ponto de inflexão: (-1.5,51.5)
Máximo relativo: (-4,114)
Mínimo relativo: (1,-11)
Não há extremos absolutos, pois f tende a -infty em xto-infty e a +infty em xto+infty.

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