Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
Passo 1
Nesse exercício a gente estudará a função f(x)=2x{3}+9x{2}-24x+2. O que precisamos: determinar o domínio; achar a derivada primeira para ver onde f cresce ou decresce e assim encontrar extremos relativos; achar a derivada segunda para estudar concavidade e identificar pontos de inflexão; e finalmente esboçar o gráfico.
Passo 2
O domínio de um polinômio de grau 3 é sempre todo o conjunto dos números reais. Logo, Dom(f)=ℝ.
Passo 3
Calculando a derivada primeira temos:
As raízes de f’ são x=-4 e x=1, que são os pontos críticos.
Passo 4
Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f’(x)=6(x+4)(x-1):
- Se x<-4, então (x+4)<0 e (x-1)<0, produto positivo ⇒ f’>0 ⇒ f crescente em (-∞,-4).
- Se -4<x<1, então (x+4)>0 e (x-1)<0, produto negativo ⇒ f’<0 ⇒ f decrescente em (-4,1).
- Se x>1, então (x+4)>0 e (x-1)>0, produto positivo ⇒ f’>0 ⇒ f crescente em (1,∞).
Assim, há máximo relativo em x=-4 e mínimo relativo em x=1.
Passo 5
Calculando a derivada segunda para concavidade:
A inflexão ocorre quando f’’(x)=0, i.e. x=-1.5, com f(-1.5)=2(-1.5){3}+9(-1.5){2}-24(-1.5)+2=51.5.
Para x<-1.5, f’’<0 ⇒ côncava para baixo; para x>-1.5, f’’>0 ⇒ côncava para cima.
Passo 6
Avaliação dos extremos relativos:
- Em x=-4: f(-4)=2(-4){3}+9(-4){2}-24(-4)+2=-128+144+96+2=114 ⇒ máximo relativo em (-4,114).
- Em x=1: f(1)=2+9-24+2=-11 ⇒ mínimo relativo em (1,-11).
Como é um polinômio de grau ímpar, f(x)→-∞ quando x→-∞ e f(x)→+∞ quando x→+∞, logo não há extremos absolutos.
Passo 7
Com todas as informações podemos esboçar o gráfico: um cuboide que sobe em (-∞,-4), atinge máximo em (-4,114), desce até (1,-11), e sobe de novo até +∞, com ponto de inflexão em (-1.5,51.5) onde muda concavidade.
Resposta
Domínio:
Crescente em
Decrescente em
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
Ponto de inflexão:
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Não há extremos absolutos, pois f tende a em
e a
em
.
Crescente em
Decrescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Ponto de inflexão:
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Não há extremos absolutos, pois f tende a