Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar completamente a função f(x)=(x+1)^2x^2+1: achar domínio, monotonicidade (crescimento/decrescimento), concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e ao final esboçar o gráfico usando tudo isso.

Passo 2

O domínio é dado por exigir que o denominador x^2+1 nunca seja zero. Como x^2+1>0 para todo xinR, concluímos que o domínio é R.

Passo 3

Para estudar variações, aplicamos a regra do quociente. Definindo u=(x+1)^2 e v=x^2+1, temos u'=2(x+1) e v'=2x. Assim
f'(x)=u'v-uv'v^2=2(x+1)(x^2+1)-(x+1)^2cdot2x(x^2+1)^2=2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 4

Igualando f'(x)=0 obtém-se 1-x^2=0, ou seja, x=pm1. Para determinar sinais, note que o denominador é sempre positivo. Logo
f'(x)>0 quando 1-x^2>0, isto é, em -1 (função crescente).
f'(x)<0 quando 1-x^2<0, em e (-infty,-1) (função decrescente).

Passo 5

Isso faz de x=-1 um mínimo local (passa de decrescente para crescente) e de x=1 um máximo local (cresce antes e decresce depois). Comparando valores limites limxtopminftyf(x)=1, vemos que o mínimo em x=-1 com f(-1)=0 é absoluto e o máximo em x=1 com f(1)=2 também é absoluto.

Passo 6

Para concavidade, derivamos de novo. A partir de f'(x)=2(1-x^2)/(x^2+1)^2 e usando regra do produto/ cadeia, chega-se a

Passo 7

Analisando o sinal de f''(x):
f''<0 (côncava para baixo) em x< -raiz3 e em 0.
f''>0 (côncava para cima) em -raiz3 e em x>raiz3.

Passo 8

Os pontos onde f''(x)=0 e muda concavidade são x=-raiz3,0,raiz3. Calculando
f(-raiz3)=1-raiz32, f(0)=1, f(raiz3)=1+raiz32,

Passo 9

temos os pontos de inflexão em l(-raiz3,1-raiz32r), (0,1) e l(raiz3,1+raiz32r).

Passo 10

Reunindo tudo, podemos esboçar o gráfico: domínio R, assimptota horizontal y=1, decrescente até -1, depois crescente até 1, decrescente depois; mínimo absoluto em (-1,0), máximo absoluto em (1,2); troca de concavidade nos três pontos de inflexão.

Resposta

Domínio: R.
Monotonicidade: decrescente em (-infty,-1) e (1,infty), crescente em (-1,1).
Extremos: mínimo absoluto em x=-1, f(-1)=0; máximo absoluto em x=1, f(1)=2.
Concavidade: côncava para baixo em ( -infty,-raiz3) e (0,raiz3); côncava para cima em (-raiz3,0) e (raiz3,infty).
Pontos de inflexão em l(-raiz3,1-raiz32r), (0,1) e l(raiz3,1+raiz32r).
Assíntota horizontal: y=1.
Gráfico: começa decrescente e côncava para baixo, inflexão em x=-raiz3, sobe côncava para cima até x=0, depois cai côncava para baixo até x=raiz3, inflexão pra cima e tende a y=1 quando xtopminfty.

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