Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
Passo 1
O enunciado pede pra gente analisar completamente a função
: achar domínio, monotonicidade (crescimento/decrescimento), concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e ao final esboçar o gráfico usando tudo isso.
Passo 2
O domínio é dado por exigir que o denominador
nunca seja zero. Como
para todo
, concluímos que o domínio é
.
Passo 3
Para estudar variações, aplicamos a regra do quociente. Definindo
e
, temos
e
. Assim
Passo 4
Igualando
obtém-se
, ou seja,
. Para determinar sinais, note que o denominador é sempre positivo. Logo
– quando
, isto é, em
(função crescente).
– quando
, em e
(função decrescente).
–
–
Passo 5
Isso faz de
um mínimo local (passa de decrescente para crescente) e de
um máximo local (cresce antes e decresce depois). Comparando valores limites
, vemos que o mínimo em
com
é absoluto e o máximo em
com
também é absoluto.
Passo 6
Para concavidade, derivamos de novo. A partir de
e usando regra do produto/ cadeia, chega-se a
Passo 7
Analisando o sinal de
:
– (côncava para baixo) em
e em
.
– (côncava para cima) em
e em
.
–
–
Passo 8
Os pontos onde
e muda concavidade são
. Calculando
Passo 9
temos os pontos de inflexão em
,
e
.
Passo 10
Reunindo tudo, podemos esboçar o gráfico: domínio
, assimptota horizontal
, decrescente até
, depois crescente até
, decrescente depois; mínimo absoluto em
, máximo absoluto em
; troca de concavidade nos três pontos de inflexão.
Resposta
Domínio:
.
Monotonicidade: decrescente em e
, crescente em
.
Extremos: mínimo absoluto em ,
; máximo absoluto em
,
.
Concavidade: côncava para baixo em e
; côncava para cima em
e
.
Pontos de inflexão em ,
e
.
Assíntota horizontal: .
Gráfico: começa decrescente e côncava para baixo, inflexão em , sobe côncava para cima até
, depois cai côncava para baixo até
, inflexão pra cima e tende a
quando
.
Monotonicidade: decrescente em
Extremos: mínimo absoluto em
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos de inflexão em
Assíntota horizontal:
Gráfico: começa decrescente e côncava para baixo, inflexão em