Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
, para todo
.
Passo 1
Vamos analisar se a equivalência
i((x2-5)2<4(x2+1)2)
\Leftrightarrow x2-5<2(x2+1)
vale para todo x real.
i((x2-5)2<4(x2+1)2)
\Leftrightarrow x2-5<2(x2+1)
vale para todo x real.
Passo 2
Como 2(x^2+1)>0 para todo x, podemos reescrever a parte da esquerda extraindo raiz quadrada e usando valor absoluto. Obtemos
equivalente a
Passo 3
Agora separamos em dois casos:
Caso A: x^2−5≥0, isto é x^2≥5. Então |x2−5|=x2−5 e a inequação fica
Caso A: x^2−5≥0, isto é x^2≥5. Então |x2−5|=x2−5 e a inequação fica
que leva a
sempre verdadeira. Nesse ramo, o lado direito da equivalência original também é exatamente x2−5<2(x2+1), então a equivalência vale quando x^2≥5.
Passo 4
Caso B: x^2−5<0, ou seja x^2<5. Aí |x2−5|=5−x2 e a inequação |x2−5|<2(x2+1) vira
que é
ou
Isso significa que, dentro de (−√5,√5), a parte à esquerda só vale para |x|>1. Mas a parte à direita da equivalência, x2−5<2(x2+1), simplifica sempre a 0<x^2+7, que é verdadeira para todo x. Logo para |x|≤1 a equivalência quebra.
Passo 5
Concluímos que a bicondicional não vale para todos os x. Por exemplo, em x=0 temos
mas
Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
Falso.