Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
x in R, para todo .

Passo 1

Vamos analisar se a equivalência
i((x2-5)2<4(x2+1)2)
\Leftrightarrow x2-5<2(x2+1)
vale para todo x real.

Passo 2

Como 2(x^2+1)>0 para todo x, podemos reescrever a parte da esquerda extraindo raiz quadrada e usando valor absoluto. Obtemos
(x^2-5)^2<4(x^2+1)^2
equivalente a
|x^2-5|<2(x^2+1)

Passo 3

Agora separamos em dois casos:
Caso A: x^2−5≥0, isto é x^2≥5. Então |x2−5|=x2−5 e a inequação fica
x^2-5<2(x^2+1)
que leva a
0
sempre verdadeira. Nesse ramo, o lado direito da equivalência original também é exatamente x2−5<2(x2+1), então a equivalência vale quando x^2≥5.

Passo 4

Caso B: x^2−5<0, ou seja x^2<5. Aí |x2−5|=5−x2 e a inequação |x2−5|<2(x2+1) vira
5-x^2<2x^2+2
que é
0<3x^2-3
ou
x^2>1
Isso significa que, dentro de (−√5,√5), a parte à esquerda só vale para |x|>1. Mas a parte à direita da equivalência, x2−5<2(x2+1), simplifica sempre a 0<x^2+7, que é verdadeira para todo x. Logo para |x|≤1 a equivalência quebra.

Passo 5

Concluímos que a bicondicional não vale para todos os x. Por exemplo, em x=0 temos
(0^2-5)^2<4(0^2+1)^2 ightsquigarrow25<4 ext (falso),
mas
0^2-5<2(0^2+1) ightsquigarrow-5<2 ext (verdadeiro)
Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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