Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
Passo 1
A questão pede para estudar a função
: domínio, crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e fazer o esboço do gráfico. Vamos usar a definição de raiz ímpar (domínio), a regra de potência para derivadas e o estudo de sinais das derivadas.
Passo 2
Como a quinta raiz de qualquer número real existe, o domínio de
é todo o conjunto dos reais:
Passo 3
Calculamos a primeira derivada usando a regra
. Assim:
Passo 4
Observamos que
para todo
, logo
em cada intervalo
e
. Em
a derivada não existe, mas a função continua crescente de um lado ao outro. Portanto,
é estritamente crescente em todo
.
Passo 5
Agora a segunda derivada. Derivando
dá:
Passo 6
Para estudar o sinal note que
tem o mesmo sinal de
(exponente ímpar na raiz). Logo:
- Se
, então e (concavidade para cima). - Se
, então e (concavidade para baixo).
Passo 7
Como a concavidade muda de cima para baixo em
, há ponto de inflexão em
e
.
Passo 8
Não existem pontos em que
. Em
a derivada não existe, mas não há mudança de crescimento, então não há extremos relativos nem absolutos. A função vai de
a
sem limite superior ou inferior.
Passo 9
O esboço é o gráfico de uma raiz quinta deslocada 2 unidades à direita. É crescente em todo
, côncava para cima em
, verticaliza a tangente em
e depois fica côncava para baixo em
.
Resposta
Domínio:
. Crescimento: crescente em todo
. Concavidade: para cima em
e para baixo em
. Ponto de inflexão:
. Extremos: não há extremos relativos nem absolutos. Gráfico: S-forma (raiz quinta) deslocado 2 unidades à direita, com tangente vertical em
.