Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :

Passo 1

A questão pede para estudar a função f(x)=(x-2)^1/5: domínio, crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e fazer o esboço do gráfico. Vamos usar a definição de raiz ímpar (domínio), a regra de potência para derivadas e o estudo de sinais das derivadas.

Passo 2

Como a quinta raiz de qualquer número real existe, o domínio de f é todo o conjunto dos reais:
Domínio: Rí

Passo 3

Calculamos a primeira derivada usando a regra ddx(x-2)^alpha=alpha(x-2)^alpha-1. Assim:
f'(x)=15(x-2)^-4/5=15,(x-2)^4/5

Passo 4

Observamos que (x-2)^4/5>0 para todo xneq2, logo f'(x)>0 em cada intervalo (2,infty) e x=2. Em f a derivada não existe, mas a função continua crescente de um lado ao outro. Portanto, R é estritamente crescente em todo .

Passo 5

Agora a segunda derivada. Derivando f'(x) dá:
f''(x)=ddxl[tfrac15(x-2)^-4/5r]=15l(-tfrac45r)(x-2)^-9/5=-425(x-2)^-9/5

Passo 6

Para estudar o sinal note que (x-2)^-9/5=1/(x-2)^9/5 tem o mesmo sinal de x-2 (exponente ímpar na raiz). Logo:
  • Se x<2, então (x-2)^9/5<0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se x>2, então (x-2)^9/5>0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 7

Como a concavidade muda de cima para baixo em x=2, há ponto de inflexão em x=2 e f(2)=0.

Passo 8

Não existem pontos em que f'(x)=0. Em x=2 a derivada não existe, mas não há mudança de crescimento, então não há extremos relativos nem absolutos. A função vai de -infty a +infty sem limite superior ou inferior.

Passo 9

O esboço é o gráfico de uma raiz quinta deslocada 2 unidades à direita. É crescente em todo R, côncava para cima em (2,0), verticaliza a tangente em (2,infty) e depois fica côncava para baixo em .

Resposta

Domínio: R. Crescimento: crescente em todo R. Concavidade: para cima em ( -infty,2) e para baixo em (2,infty). Ponto de inflexão: (2,0). Extremos: não há extremos relativos nem absolutos. Gráfico: S-forma (raiz quinta) deslocado 2 unidades à direita, com tangente vertical em x=2.

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