Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=x^2-tfrac1x: determinar domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

O domínio de f vem de evitar divisão por zero. Logo
Df=(-infty,0),cup,(0,infty)
Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^2r)-ddxl(x^-1r)=2x+ x^-2

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos a zero:
2x+ x^-2=0Longrightarrow 2x^3+1=0Longrightarrow x=-raiz[3]tfrac12=:-capprox-0,794
Analisando o sinal de f': em x<-c temos f'<0 (função decresce), e em -c e em (0,infty) temos f'>0 (função cresce).

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para concavidade:
f''(x)=2-2x^-3

Passo 5

Igualando a zero para pontos de inflexão:
2-2x^-3=0Longrightarrow x^3=1Longrightarrow x=1
Analisando o sinal de f'': em x<0 temos x^-3<0 logo f''>0 (côncavo para cima); em 0 temos f''<0 (côncavo para baixo); em x>1 temos f''>0 (côncavo para cima).
O único ponto de inflexão é (1,f(1))=(1,0).

Passo 6

No ponto crítico x=-c a derivada muda de negativa para positiva, indicando mínimo. O valor é
f(-c)=(-c)^2-1-c=c^2+1c=2^-2/3+2^1/3approx1,89
Como f(x)to+infty em ambas as pontas de cada ramo e não há outros extremos, esse mínimo é também mínimo absoluto. Não há máximo absoluto.

Passo 7

No esboço: há assíntota vertical em x=0, ramo à esquerda que decresce de +infty até yminapprox1,89 em x=-c e depois cresce de volta a +infty; ramo à direita cresce de -infty (quando xto0^+) até passa por (1,0) e vai a +infty, mudando de concavidade em x=1.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty).
Cresce em (-c,0)cup(0,infty), decresce em (-infty,-c), onde c=raiz[3]tfrac12approx0,794.
Concavidade: côncavo para cima em (0,1), côncavo para baixo em (1,0).
Ponto de inflexão: x=-c.
Extremo: mínimo relativo e absoluto em f(-c)=2^-2/3+2^1/3approx1,89, com valor x=0. Não há máximos absolutos.
Gráfico: assíntota vertical em +infty; ramo esquerdo vai de (-c,1,89) decrescendo até o mínimo em +infty e sobe a -infty; ramo direito cresce de 0^+ em (1,0), atravessa +infty trocando concavidade, e sobe para .

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