Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
: determinar domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos, e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
O domínio de
vem de evitar divisão por zero. Logo
Calculamos a derivada primeira:
Passo 3
Para achar pontos críticos, igualamos a zero:
Analisando o sinal de
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para concavidade:
Passo 5
Igualando a zero para pontos de inflexão:
Analisando o sinal de
O único ponto de inflexão é
Passo 6
No ponto crítico
a derivada muda de negativa para positiva, indicando mínimo. O valor é
Como
Passo 7
No esboço: há assíntota vertical em
, ramo à esquerda que decresce de
até
em
e depois cresce de volta a
; ramo à direita cresce de
(quando
) até passa por
e vai a
, mudando de concavidade em
.
Resposta
Domínio:
.
Cresce em , decresce em
, onde
.
Concavidade: côncavo para cima em , côncavo para baixo em
.
Ponto de inflexão: .
Extremo: mínimo relativo e absoluto em , com valor
. Não há máximos absolutos.
Gráfico: assíntota vertical em ; ramo esquerdo vai de
decrescendo até o mínimo em
e sobe a
; ramo direito cresce de
em
, atravessa
trocando concavidade, e sobe para
.
Cresce em
Concavidade: côncavo para cima em
Ponto de inflexão:
Extremo: mínimo relativo e absoluto em
Gráfico: assíntota vertical em