Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :

Passo 1

O enunciado pede para estudar completamente a função racional f(x)=2xx+2: domínio, monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão, extremos e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de assíntotas e comportamento em ±∞.

Passo 2

Determinar o domínio e assíntotas. A função está definida sempre que o denominador ≠0, ou seja x+2neq0 xneq-2. Então o domínio é Rsetminus-2. Como x=-2 faz o denominador zero, há assíntota vertical em x=-2. Para xtopminfty, f(x)=2xx+2approx2, logo há assíntota horizontal y=2.

Passo 3

Estudar crescimento/decrescimento com a derivada. Calculamos
f'(x)=ddxl(2xx+2r)=2(x+2)-2x(x+2)^2=4(x+2)^2
Como (x+2)^2>0 sempre, temos f'(x)>0 para todo xneq-2. Isso mostra que f é crescente em cada intervalo do domínio ( -infty,-2 e (-2,infty)). Logo não há extremos relativos nem absolutos internos.

Passo 4

Estudar concavidade e pontos de inflexão com a segunda derivada. Derivando novamente:
f''(x)=ddxl(4(x+2)^2r)=-81(x+2)^3=-8(x+2)^3
O sinal de f''(x) depende de (x+2)^3: para x<-2, denom <0 ⇒ f''(x)>0 (concavidade para cima); para x>-2, denom >0 ⇒ f''(x)<0 (concavidade para baixo). Como a mudança de sinal ocorre em x=-2, que não pertence ao domínio, não há pontos de inflexão na função.

Passo 5

Verificar extremos e interceptos. Já vimos que não há extremos ( f' nunca zera). O intercepto com o eixo y ocorre em x=0: f(0)=0, ou seja ponto (0,0). Não há outros zeros além de x=0.

Passo 6

Esboçar o gráfico. Temos dois ramos: em x<-2, a curva é crescente e côncava para cima, aproximando-se de x=-2 verticalmente e de y=2 horizontalmente; em x>-2, é crescente e côncava para baixo, passa por (0,0) e aproxima-se das mesmas assíntotas. É uma hipérbole geral deslocada.

Passo 7

Resumo final: domínio Rsetminus-2; crescente em todo domínio; concavidade para cima em (-infty,-2) e para baixo em (-2,infty); sem extremos; sem pontos de inflexão; assíntotas x=-2 e y=2; intercepto em (0,0).

Resposta

Domínio: Rsetminus-2.
Crescente em (-infty,-2) e (-2,infty), sem extremos.
Concavidade para cima em (-infty,-2), para baixo em (-2,infty), sem pontos de inflexão.
Assíntotas: vertical x=-2, horizontal y=2.
Intercepto: (0,0).
Gráfico: hipérbole com dois ramos conforme descrito acima.

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