Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
Passo 1
O enunciado pede para estudar completamente a função racional
: domínio, monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão, extremos e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de assíntotas e comportamento em ±∞.
Passo 2
Determinar o domínio e assíntotas. A função está definida sempre que o denominador ≠0, ou seja
⇒
. Então o domínio é
. Como
faz o denominador zero, há assíntota vertical em
. Para
,
, logo há assíntota horizontal
.
Passo 3
Estudar crescimento/decrescimento com a derivada. Calculamos
Como
sempre, temos
para todo
. Isso mostra que
é crescente em cada intervalo do domínio (
e
). Logo não há extremos relativos nem absolutos internos.
Passo 4
Estudar concavidade e pontos de inflexão com a segunda derivada. Derivando novamente:
O sinal de
depende de
: para
, denom <0 ⇒
(concavidade para cima); para
, denom >0 ⇒
(concavidade para baixo). Como a mudança de sinal ocorre em
, que não pertence ao domínio, não há pontos de inflexão na função.
Passo 5
Verificar extremos e interceptos. Já vimos que não há extremos (
nunca zera). O intercepto com o eixo
ocorre em
:
, ou seja ponto
. Não há outros zeros além de
.
Passo 6
Esboçar o gráfico. Temos dois ramos: em
, a curva é crescente e côncava para cima, aproximando-se de
verticalmente e de
horizontalmente; em
, é crescente e côncava para baixo, passa por
e aproxima-se das mesmas assíntotas. É uma hipérbole geral deslocada.
Passo 7
Resumo final: domínio
; crescente em todo domínio; concavidade para cima em
e para baixo em
; sem extremos; sem pontos de inflexão; assíntotas
e
; intercepto em
.
Resposta
Domínio:
.
Crescente em e
, sem extremos.
Concavidade para cima em , para baixo em
, sem pontos de inflexão.
Assíntotas: vertical , horizontal
.
Intercepto: .
Gráfico: hipérbole com dois ramos conforme descrito acima.
Crescente em
Concavidade para cima em
Assíntotas: vertical
Intercepto:
Gráfico: hipérbole com dois ramos conforme descrito acima.