Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
Passo 1
O enunciado pede para analisar completamente a função
: achar domínio, monotonicidade (crescimento/decrescimento), concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem para estudo de funções.
Passo 2
Para achar o domínio, observe que
exige
e
exige
. A interseção dá como domínio
.
Passo 3
Calcule a derivada de primeira ordem:
Para encontrar pontos críticos, resolva
Fazendo
obtemos
e, em domínio
, só surge
ou
.
Passo 4
Estude o sinal de
:
Para , por exemplo
,
(decrescente).
Para , ex.
,
(crescente).
Logo decresce em
e cresce em
.
Em há mínimo relativo. Como
em ambas as extremidades do domínio, é mínimo absoluto também, com
.
Para
Para
Logo
Em
Passo 5
Calcule a derivada de segunda ordem:
Colocando sobre mesmo denominador:
Passo 6
Para pontos de inflexão resolva
:
Então há inflexão em
Passo 7
Estude a concavidade usando o sinal de
:
Se então
e
(côncava para cima).
Se então
e
(côncava para baixo).
Se
Se
Passo 8
Para esboçar o gráfico:
– Domínio .
– Decrecente até , cresce depois; mínimo absoluto em
.
– Côncava para cima até , depois côncava para baixo; ponto de inflexão em
.
O gráfico diverge para próximo de zero e para
quando
, com a forma de “V” suave arredondada no mínimo.
– Domínio
– Decrecente até
– Côncava para cima até
O gráfico diverge para
Passo 9
O esboço final mostra curva que desce rapidamente de
em
, atinge o mínimo em
, sobe e inflete em
, crescendo mais lentamente depois disso.
Resposta
Domínio: (0,∞).
Monotonicidade: decrescente em (0,4), crescente em (4,∞).
Extremo: mínimo absoluto em x=4 com f(4)=3.
Concavidade: côncava para cima em (0,(32)^{2/3}), côncava para baixo em ((32)^{2/3},∞).
Ponto de inflexão: x=(32)^{2/3}≈10,08, y= (32){1/3}+4/(32){2/3}.
Gráfico: diverge a +∞ em 0+, desce até (4,3), sobe suavemente com inflexão em ≈10,08.
Monotonicidade: decrescente em (0,4), crescente em (4,∞).
Extremo: mínimo absoluto em x=4 com f(4)=3.
Concavidade: côncava para cima em (0,(32)^{2/3}), côncava para baixo em ((32)^{2/3},∞).
Ponto de inflexão: x=(32)^{2/3}≈10,08, y= (32){1/3}+4/(32){2/3}.
Gráfico: diverge a +∞ em 0+, desce até (4,3), sobe suavemente com inflexão em ≈10,08.