Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :

Passo 1

O enunciado pede para analisar completamente a função f(x)=raizx+4x: achar domínio, monotonicidade (crescimento/decrescimento), concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem para estudo de funções.

Passo 2

Para achar o domínio, observe que raizx exige x>=0 e 4/x exige xneq0. A interseção dá como domínio (0,infty).

Passo 3

Calcule a derivada de primeira ordem:
f'(x)=12raizx-4x^2
Para encontrar pontos críticos, resolva f'(x)=0:
12raizx=4x^2,Longrightarrow,x^2=8raizx
Fazendo t=raizx obtemos t^4=8t e, em domínio (0,infty), só surge t=2 ou x=4.

Passo 4

Estude o sinal de f'(x):
Para 0, por exemplo x=1, f'(1)=tfrac12-4<0 (decrescente).
Para x>4, ex. x=9, f'(9)=tfrac16-tfrac481>0 (crescente).
Logo f decresce em (0,4) e cresce em (4,infty).
Em x=4 há mínimo relativo. Como f(x)to+infty em ambas as extremidades do domínio, é mínimo absoluto também, com f(4)=2+1=3.

Passo 5

Calcule a derivada de segunda ordem:
f''(x)=-14x^3/2+8x^3
Colocando sobre mesmo denominador:
f''(x)=32 - x^3/24x^3

Passo 6

Para pontos de inflexão resolva f''(x)=0:
32 - x^3/2=0,Longrightarrow,x^3/2=32,Longrightarrow,x=(32)^2/3approx10,08
Então há inflexão em x=(32)^2/3.

Passo 7

Estude a concavidade usando o sinal de f''(x):
Se 0 então x^3/2<32 e f''(x)>0 (côncava para cima).
Se x>(32)^2/3 então x^3/2>32 e f''(x)<0 (côncava para baixo).

Passo 8

Para esboçar o gráfico:
– Domínio (0,infty).
– Decrecente até x=4, cresce depois; mínimo absoluto em (4,3).
– Côncava para cima até x=(32)^2/3approx10,08, depois côncava para baixo; ponto de inflexão em l((32)^2/3,,raiz(32)^2/3+4/(32)^2/3r).
O gráfico diverge para +infty próximo de zero e para +infty quando xtoinfty, com a forma de “V” suave arredondada no mínimo.

Passo 9

O esboço final mostra curva que desce rapidamente de +infty em xto0^+, atinge o mínimo em (4,3), sobe e inflete em xapprox10,08, crescendo mais lentamente depois disso.

Resposta

Domínio: (0,∞).
Monotonicidade: decrescente em (0,4), crescente em (4,∞).
Extremo: mínimo absoluto em x=4 com f(4)=3.
Concavidade: côncava para cima em (0,(32)^{2/3}), côncava para baixo em ((32)^{2/3},∞).
Ponto de inflexão: x=(32)^{2/3}≈10,08, y= (32){1/3}+4/(32){2/3}.
Gráfico: diverge a +∞ em 0+, desce até (4,3), sobe suavemente com inflexão em ≈10,08.

Exercícios relacionados