Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
|x| <= a Leftrightarrow-a <= x <= a, em que a >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se a equivalência |x| <= a Leftrightarrow -a <= x <= a, onde a>=0, é verdadeira ou falsa, usando a definição de valor absoluto e propriedades de desigualdades.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de valor absoluto de x:
|x| = x, & se x>= 0, -x, & se x<0

Passo 3

Mostramos primeiro que |x| <= a implica -a <= x <= a:
  • Se x>=0, então |x|=x, logo x<= a. Como a>=0, temos também -a<=0<= x, então -a<= x<= a.
  • Se x<0, então |x|=-x, e -x<= a x>= -a. Além disso x<0<= a implica x<= a. Portanto -a<= x<= a.

Passo 4

Agora provamos o recíproco, que -a <= x <= a implica |x| <= a:
  • Se x>=0, então |x|=x<= a diretamente.
  • Se x<0, então |x|=-x. Como x>= -a, multiplicando por -1 (inverte o sentido), obtemos -x<= a, isto é |x|<= a.

Resposta

Verdadeira

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