Determine os pontos em que a função dada não é analítica.

Passo 1

O enunciado pede pra achar onde f(z) = l((4+2i)z(2-i)z^2 + 9ir)^3 não é analítica. O conteúdo é funções meromorfas em C e pra resolver precisamos identificar onde o denominador se anula, pois aí surgem singularidades (pólos) onde a função deixa de ser analítica.

Passo 2

A condição pra f(z) não ser analítica é ter denominador zero:
(2 - i)z^2 + 9i = 0

Passo 3

Isolando z^2 na equação:
z^2 = -9i2 - i

Passo 4

Vamos simplificar o quociente -9i2 - i multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 2 - i:
-9i2 - i cdot 2 + i2 + i = -9i(2 + i)(2 - i)(2 + i) = -9i(2 + i)4 + 1 = -9i(2 + i)5 = 9 - 18i5

Passo 5

Chamando w = 9 - 18i5 = a + ib, onde a = tfrac95 e b = -tfrac185, aplicamos a fórmula das raízes quadradas de um número complexo:
|w| = raiza^2 + b^2 = raiz81 + 32425 = 9raiz55,

Passo 6

u = raiz|w| + a2, v = sign(b)raiz|w| - a2,

Passo 7

Então as soluções são
z = pml(u + ivr) = pml(3raiz10raizraiz5 + 1 - i,3raiz10raizraiz5 - 1r)

Resposta

Os únicos pontos onde f(z) não é analítica são os dois valores
z = pmraiz9 - 18i5 = pml(3raiz10raizraiz5 + 1 - i,3raiz10raizraiz5 - 1r)

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