Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
;
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a função por partes: domínio, variação (crescimento/decrescimento), concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos e, ao final, esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem para estudar monotonia e concavidade.
Passo 2
O domínio é tudo que não gera problemas na expressão. Aqui as duas partes,
e
, são polinomiais, definidas em todos os reais. Logo,
.
Passo 3
Verificamos continuidade e derivabilidade em
. À esquerda
e à direita
, logo é contínua. Derivando: para
, então
. Para
, e
. Como as derivadas coincidem,
é diferenciável em
.
Passo 4
Estudo de variação em cada ramo: (a) Se
,
. Temos
em
(decrescente) e
em
(crescente). Portanto, em
surge um mínimo relativo. (b) Se
,
. O discriminante é
, logo
para todo
, sendo estritamente crescente em
.
Passo 5
Cálculo da segunda derivada e estudo de concavidade: (a) Para
,
, então é sempre côncava para cima. (b) Para
,
. A raiz é
. Em
temos
(côncava para baixo) e em
(côncava para cima).
Passo 6
Ponto de inflexão ocorre onde
muda de sinal: em
. O valor de
ali é
Passo 7
Extremos: (a) Em
, como
muda de negativo para positivo, temos mínimo relativo. Avaliando
. (b) Não surgem outros pontos críticos no segundo ramo, pois
nunca anula. Comparando valores,
é o valor mínimo absoluto, já que
em ambas as pontas. Não há máximos.
Passo 8
Com as informações de monotonia e concavidade anotadas, podemos esboçar o gráfico: no ramo
uma parábola aberta para cima, descendo até
e subindo até
, depois continua suave e crescente, muda de concavidade em
e cresce para
.
Resposta
Domínio:
. Cresce em
, decresce em
. Mínimo relativo e absoluto em
,
. Concavidade: sempre côncava para cima em
; em
côncava para baixo; em
côncava para cima. Ponto de inflexão em
. Sem máximos. Gráfico: parábola em
, junta-se de forma suave ao polinômio crescente em
, com mudança de concavidade em
.