Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
llx^2 & se x<1 x^3-4 x^2+7 x-3 & se x >= 1;

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função por partes: domínio, variação (crescimento/decrescimento), concavidade, pontos de inflexão, extremos relativos e absolutos e, ao final, esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem para estudar monotonia e concavidade.

Passo 2

O domínio é tudo que não gera problemas na expressão. Aqui as duas partes, x^2 e x^3-4x^2+7x-3, são polinomiais, definidas em todos os reais. Logo, Dom(f)=(-infty,infty).

Passo 3

Verificamos continuidade e derivabilidade em x=1. À esquerda f(1^-)=1^2=1 e à direita f(1^+)=1-4+7-3=1, logo é contínua. Derivando: para x<1 f'(x)=2x, então f'(1^-)=2. Para x>=1 f'(x)=3x^2-8x+7, e f'(1^+)=3-8+7=2. Como as derivadas coincidem, f é diferenciável em x=1.

Passo 4

Estudo de variação em cada ramo: (a) Se x<1, f'(x)=2x. Temos f'(x)<0 em x<0 (decrescente) e f'(x)>0 em 0 (crescente). Portanto, em x=0 surge um mínimo relativo. (b) Se x>=1, f'(x)=3x^2-8x+7. O discriminante é De, logo f'(x)>0 para todo x, sendo estritamente crescente em [1,infty).

Passo 5

Cálculo da segunda derivada e estudo de concavidade: (a) Para x<1, f''(x)=2>0, então é sempre côncava para cima. (b) Para x>=1, f''(x)=6x-8. A raiz é x=tfrac86=tfrac43. Em [1,4/3) temos f''(x)<0 (côncava para baixo) e em (4/3,infty) f''(x)>0 (côncava para cima).

Passo 6

Ponto de inflexão ocorre onde f''(x) muda de sinal: em x=4/3. O valor de f ali é
fl(4/3r)=l(tfrac43r)^3-4l(tfrac43r)^2+7l(tfrac43r)-3=4327

Passo 7

Extremos: (a) Em x=0, como f' muda de negativo para positivo, temos mínimo relativo. Avaliando f(0)=0. (b) Não surgem outros pontos críticos no segundo ramo, pois f' nunca anula. Comparando valores, f(0)=0 é o valor mínimo absoluto, já que f(x)to+infty em ambas as pontas. Não há máximos.

Passo 8

Com as informações de monotonia e concavidade anotadas, podemos esboçar o gráfico: no ramo x<1 uma parábola aberta para cima, descendo até (0,0) e subindo até (1,1), depois continua suave e crescente, muda de concavidade em x=4/3 e cresce para .

Resposta

Domínio: ( -infty,infty). Cresce em (0,infty), decresce em ( -infty,0). Mínimo relativo e absoluto em x=0, f(0)=0. Concavidade: sempre côncava para cima em ( -infty,1); em [1,4/3) côncava para baixo; em (4/3,infty) côncava para cima. Ponto de inflexão em l(4/3,43/27r). Sem máximos. Gráfico: parábola em x<1, junta-se de forma suave ao polinômio crescente em x>=1, com mudança de concavidade em x=4/3.

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