Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
llx^2 & se x<0 -x^2 & se x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função por partes
f(x)=x^2,&x<0, -x^2,&x>=0,
Precisamos determinar domínio, monotonia (usando f’), concavidade e pontos de inflexão (usando f’’), extremos e esboçar o gráfico.

Passo 2

Encontrar o domínio. A função está definida por polinômios para todo x real, logo
Domínio: R.

Passo 3

Calcular a derivada de primeira ordem e estudar crescimento/decrescimento.
Para x<0 temos f'(x)=2x.
Para x>0 temos f'(x)=-2x.
Em x=0 as derivadas laterais valem zero, então podemos definir f'(0)=0.
Como f'(x)<0 em (0,infty) e em , a função é estritamente decrescente em  e não cresce em nenhum intervalo.

Passo 4

Calcular a derivada de segunda ordem e estudar concavidade e pontos de inflexão.
Para x<0 temos f''(x)=2>0, logo f é côncava para cima em f''(x)=-2<0.
Para x>0 temos (0,infty), logo f é côncava para baixo em (0,0).
Em x=0 há mudança de sinal de f’’, portanto existe ponto de inflexão em .

Passo 5

Analisar extremos relativos e absolutos. Como a derivada f’ é sempre negativa à esquerda e à direita de 0 e não há troca de sinal de f’, não há máximos nem mínimos locais nem globais.

Passo 6

Esboçar o gráfico de maneira qualitativa.
– Para x<0: parábola y=x^2, aberta para cima, descendo até o ponto (0,0).
– Para x\ge0: parábola y=-x^2, aberta para baixo, partindo de (0,0) com tangente horizontal e decaindo.

Passo 7

Finalizar resumo de todas as informações obtidas.

Resposta

Domínio: R.
Monotonia: sem intervalos de crescimento; decrescente em (0,infty).
Concavidade: côncava para cima em (0,0) e côncava para baixo em y=x^2.
Ponto de inflexão: y=-x^2.
Extremos: não existem extremos relativos nem absolutos.
Gráfico:
– Ramo esquerdo: parábola para x<0.
– Ramo direito: parábola para x\ge0,
ambos unidos suavemente em (0,0) com tangente horizontal.

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