Achar o domínio, estudar as variações (crescimento e decrescimento), estudar a concavidade, achar os pontos de inflexões, achar os extremos relativos e absolutos e esboçar o gráfico das funções seguintes :
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função por partes
Precisamos determinar domínio, monotonia (usando f’), concavidade e pontos de inflexão (usando f’’), extremos e esboçar o gráfico.
Passo 2
Encontrar o domínio. A função está definida por polinômios para todo x real, logo
Domínio: .
Domínio:
Passo 3
Calcular a derivada de primeira ordem e estudar crescimento/decrescimento.
Para x<0 temos .
Para x>0 temos .
Em x=0 as derivadas laterais valem zero, então podemos definir .
Como em
e em
, a função é estritamente decrescente em
e não cresce em nenhum intervalo.
Para x<0 temos
Para x>0 temos
Em x=0 as derivadas laterais valem zero, então podemos definir
Como
Passo 4
Calcular a derivada de segunda ordem e estudar concavidade e pontos de inflexão.
Para x<0 temos , logo f é côncava para cima em
.
Para x>0 temos , logo f é côncava para baixo em
.
Em x=0 há mudança de sinal de f’’, portanto existe ponto de inflexão em .
Para x<0 temos
Para x>0 temos
Em x=0 há mudança de sinal de f’’, portanto existe ponto de inflexão em
Passo 5
Analisar extremos relativos e absolutos. Como a derivada f’ é sempre negativa à esquerda e à direita de 0 e não há troca de sinal de f’, não há máximos nem mínimos locais nem globais.
Passo 6
Esboçar o gráfico de maneira qualitativa.
– Para x<0: parábola , aberta para cima, descendo até o ponto (0,0).
– Para x\ge0: parábola , aberta para baixo, partindo de (0,0) com tangente horizontal e decaindo.
– Para x<0: parábola
– Para x\ge0: parábola
Passo 7
Finalizar resumo de todas as informações obtidas.
Resposta
Domínio:
.
Monotonia: sem intervalos de crescimento; decrescente em
.
Concavidade: côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Ponto de inflexão:
.
Extremos: não existem extremos relativos nem absolutos.
Gráfico:
– Ramo esquerdo: parábola para x<0.
– Ramo direito: parábola para x\ge0,
ambos unidos suavemente em (0,0) com tangente horizontal.
– Ramo esquerdo: parábola
– Ramo direito: parábola
ambos unidos suavemente em (0,0) com tangente horizontal.