Use a Definição 2.6.2 e o Teorema 2.6.2 e prove a regra para soma dd z[f(z)+g(z)]=f^prime(z)+g^prime(z).

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra da derivada da soma de duas funções complexas, ou seja, mostrar que ddz[f(z)+g(z)] = f'(z) + g'(z). Vamos usar a Definição 2.6.2 (que define a derivada de uma função complexa por limite) e o Teorema 2.6.2 (que garante que podemos somar limites quando cada um existe).

Passo 2

Começamos aplicando a definição de derivada (Definição 2.6.2) à função h(z) = f(z) + g(z):
h'(z) = limDe

Passo 3

Reorganizamos o numerador para separar as parcelas de f e g:
h'(z) = limDe

Passo 4

Como f e g são diferenciáveis em z, seus limites individuais existem e, pelo Teorema 2.6.2, a soma dos limites é o limite da soma. Logo,
h'(z) = limDe

Resposta

Portanto, fica provado que ddz[f(z)+g(z)] = f'(z) + g'(z).

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