a. Sejam f e g duas funções continuas em [a, b] e derivaveis em ] a, b[. Provar que existe c in] a, b[ tal que
(f(b)-f(a)) g^prime(c)=(g(b)-g(a)) f^prime(c)
b. Sejam f e g duas funções continuas em [a, b], derivaveis em |f(b)-f(a)| <= g(b)-g(a) e tais que , e . Provar que .

Passo 1

O enunciado é sobre Funções contínuas em [a,b], deriváveis em (a,b) e pede (a) provar a forma do Teorema do Valor Médio de Cauchy e (b) usar esse resultado mais a condição |f′(x)| ≤ g′(x) para obter uma desigualdade entre incrementos. Vamos precisar do Teorema de Rolle e da construção de uma função auxiliar para aplicar esse teorema.

Passo 2

Definimos a função auxiliar φ de modo a zerar nos pontos a e b. Mais precisamente, seja φ(x)= (f(b)−f(a))·g(x) − (g(b)−g(a))·f(x). Como f e g são contínuas em [a,b] e deriváveis em (a,b), φ também o é, e φ(a)=φ(b)=0.

Passo 3

Pelo Teorema de Rolle existe c∈(a,b) tal que φ′©=0. Calculando φ′(x) obtemos φ′(x)= (f(b)−f(a))·g′(x) − (g(b)−g(a))·f′(x). Logo em x=c: (f(b)−f(a))·g′© − (g(b)−g(a))·f′©=0, isto é
(f(b)-f(a)),g'(c) = (g(b)-g(a)),f'(c)

Passo 4

Para a parte (b), notamos que g′(x)≠0 implica g estritamente crescente e g(b)−g(a)>0. Do item (a) temos f(b)−f(a) = (g(b)−g(a))·(f′©/g′©). Tomando valor absoluto e usando |f′©| ≤ g′© resulta
|f(b)-f(a)| = (g(b)-g(a)),l|f'(c)/g'(c)r| <= (g(b)-g(a)),g'(c)g'(c) = g(b)-g(a)

Resposta

a. Existe c∈(a,b) tal que (f(b)−f(a))·g′© = (g(b)−g(a))·f′©. b. Da igualdade anterior e de |f′(x)| ≤ g′(x) segue |f(b)−f(a)| ≤ g(b)−g(a).

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