a. Sejam
e
duas funções continuas em
e derivaveis em
. Provar que existe
tal que
b. Sejam
e
duas funções continuas em
, derivaveis em
e tais que
, e
. Provar que
.
Passo 1
O enunciado é sobre Funções contínuas em [a,b], deriváveis em (a,b) e pede (a) provar a forma do Teorema do Valor Médio de Cauchy e (b) usar esse resultado mais a condição |f′(x)| ≤ g′(x) para obter uma desigualdade entre incrementos. Vamos precisar do Teorema de Rolle e da construção de uma função auxiliar para aplicar esse teorema.
Passo 2
Definimos a função auxiliar φ de modo a zerar nos pontos a e b. Mais precisamente, seja φ(x)= (f(b)−f(a))·g(x) − (g(b)−g(a))·f(x). Como f e g são contínuas em [a,b] e deriváveis em (a,b), φ também o é, e φ(a)=φ(b)=0.
Passo 3
Pelo Teorema de Rolle existe c∈(a,b) tal que φ′©=0. Calculando φ′(x) obtemos φ′(x)= (f(b)−f(a))·g′(x) − (g(b)−g(a))·f′(x). Logo em x=c: (f(b)−f(a))·g′© − (g(b)−g(a))·f′©=0, isto é
Passo 4
Para a parte (b), notamos que g′(x)≠0 implica g estritamente crescente e g(b)−g(a)>0. Do item (a) temos f(b)−f(a) = (g(b)−g(a))·(f′©/g′©). Tomando valor absoluto e usando |f′©| ≤ g′© resulta
Resposta
a. Existe c∈(a,b) tal que (f(b)−f(a))·g′© = (g(b)−g(a))·f′©. b. Da igualdade anterior e de |f′(x)| ≤ g′(x) segue |f(b)−f(a)| ≤ g(b)−g(a).