Achar dy/dx se 5 y^{2}+\operatorname{sen} y=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
5\,y^{2} + \sin y = x^{2}
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}.
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x. Do lado esquerdo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(5\,y^{2}\bigr)=10\,y\,\frac{dy}{dx},
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(\sin y\bigr)=\cos y\,\frac{dy}{dx}.
    Do lado direito:
    \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2\,x.

Passo 3

Somando as derivações do lado esquerdo e igualando ao direito, obtemos
10\,y\,\frac{dy}{dx}+\cos y\,\frac{dy}{dx}=2\,x.

Passo 4

Fatoramos \displaystyle \frac{dy}{dx} e isolamos:
\bigl(10\,y+\cos y\bigr)\frac{dy}{dx}=2\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{2\,x}{10\,y+\cos y}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2\,x}{10\,y+\cos y}.

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