Para cada uma das equações, encontre d y / d x por derivação implícita:
\operatorname{sen} \frac{x}{y}=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\operatorname{sen}\!\biggl(\frac{x}{y}\biggr)=\frac{1}{2}
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}. Vamos usar derivação implícita junto com a regra da cadeia e a derivada de quociente.

Passo 2

Defina a função interna
u = \frac{x}{y}.
Então a equação fica \operatorname{sen}(u)=\tfrac12. Diferenciando ambos os lados em relação a x, pela regra da cadeia, obtemos
\cos(u)\,\frac{du}{dx} = 0.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{du}{dx} sabendo que u = x\,y^{-1}. Pela regra do quociente (ou produto),
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = \frac{y\cdot\frac{d}{dx}(x) \;-\; x\cdot\frac{d}{dx}(y)}{y^2} = \frac{y - x\,\frac{dy}{dx}}{y^2}.

Passo 4

Substituindo em \cos(u)\,\frac{du}{dx}=0, com u=x/y, vem
\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\frac{y - x\,\frac{dy}{dx}}{y^2} = 0.
Como \operatorname{sen}(x/y)=\tfrac12 implica x/y=\pi/6+2\pi k ou 5\pi/6+2\pi k, em que \cos(x/y)\neq0, podemos dividir por \cos(x/y) e por y^2, restando
y - x\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 5

Isolando \displaystyle \frac{dy}{dx}, obtemos
x\,\frac{dy}{dx} = y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.

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