Para cada uma das equações, encontre d y / d x por derivação implícita:
x^{2}-5 x y+3 y^{2}=7

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}-5xy+3y^{2}=7
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar derivação implícita: diferenciar ambos os lados em relação a x, aplicando regra de derivada de monômio e regra do produto onde necessário.

Passo 2

Derivando cada termo em relação a x:
– Para x^{2} temos
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
– Para -5xy usamos produto u=x, v=y(x):
\frac{d}{dx}(-5xy)=-5\bigl(u'v+uv'\bigr)=-5\bigl(1\cdot y + x\cdot y'\bigr)=-5y-5x\,y'.
– Para 3y^{2} usamos cadeia:
\frac{d}{dx}(3y^{2})=3\cdot2y\cdot y'=6y\,y'.
O lado direito \frac{d}{dx}(7)=0.

Passo 3

Somando tudo e igualando a zero:
2x\;-\;5y\;-\;5x\,y'\;+\;6y\,y'=0.
Agrupando os termos com y':
-5x\,y'+6y\,y' = -(2x-5y)\quad\Longrightarrow\quad(6y-5x)\,y' = 5y-2x.
Isolando y':
y' = \frac{5y - 2x}{6y - 5x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{5y - 2x}{6y - 5x}.

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