Encontre o coeficiente angular das curvas x=f(t) e y=g(t) nos valores dados de t.
x^{2}-2 t x+2 t^{2}=4,2 y^{3}-3 t^{2}=4, \mathrm{t}=2

Passo 1

O enunciado define a curva parametricamente por
x^{2}-2\,t\,x+2\,t^{2}=4,
2\,y^{3}-3\,t^{2}=4,
e pede o coeficiente angular da curva no ponto correspondente a t=2.
O coeficiente angular da curva é dado por
\frac{dy}{dx} =\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}.
Vamos, portanto, achar \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} por diferenciação implícita e depois avaliar em t=2.

Passo 2

Diferenciando em relação a t a primeira equação
x^{2}-2\,t\,x+2\,t^{2}=4
obtemos
2\,x\,\frac{dx}{dt} -2\,x -2\,t\,\frac{dx}{dt} +4\,t =0.
Agrupando os termos que contêm \frac{dx}{dt} e isolando-o, vem
\bigl(2\,x-2\,t\bigr)\frac{dx}{dt} =2\,x-4\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} =\frac{2\,x-4\,t}{2\,x-2\,t} =\frac{x-2\,t}{x-t}.

Passo 3

Para avaliar em t=2, achamos primeiro x(2) resolvendo
x^{2}-2\cdot2\,x+2\cdot2^{2}=4 \;\Longrightarrow\; x^{2}-4\,x+8=4 \;\Longrightarrow\; x^{2}-4\,x+4=0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2}=0 \;\Longrightarrow\; x=2.
Substituindo em \frac{dx}{dt}=\frac{x-2t}{x-t}, obtemos
\frac{dx}{dt}\Bigl|_{t=2} =\frac{2-4}{2-2} =\frac{-2}{0},
ou seja, o denominador zera enquanto o numerador não, de modo que
\frac{dx}{dt} tende a infinito.

Passo 4

Diferenciando em relação a t a segunda equação
2\,y^{3}-3\,t^{2}=4
temos
6\,y^{2}\,\frac{dy}{dt} -6\,t =0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} =\frac{t}{y^{2}}.
Em t=2 e, da própria equação, y^{3}=8 implica y=2. Logo,
\frac{dy}{dt}\Bigl|_{t=2} =\frac{2}{2^{2}} =\frac{2}{4} =\frac12.

Passo 5

O coeficiente angular é
\frac{dy}{dx} =\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}} {\displaystyle\frac{dx}{dt}} =\frac{\tfrac12}{\infty} =0.

Resposta

O coeficiente angular da curva em t=2 é 0.

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