Achar, no eixo O y, um ponto que esteja situado à distância d=4 do plano
x+2 y-2 z-2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um ponto no eixo O y que esteja a uma distância de d = 4 do plano x + 2y - 2z - 2 = 0 . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano. Para resolver isso, precisamos lembrar como aplicar essa fórmula e fazer algumas substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano dado pela equação Ax + By + Cz + D = 0 . A fórmula é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, o plano é x + 2y - 2z - 2 = 0 , então A = 1 , B = 2 , C = -2 , e D = -2 .

Passo 3

Como queremos encontrar um ponto no eixo O y , isso significa que as coordenadas desse ponto são (0, y, 0) . Ou seja, x0 = 0 e z0 = 0 .

Passo 4

Vamos substituir essas coordenadas na fórmula da distância:
4 = |1 cdot 0 + 2 cdot y + (-2) cdot 0 - 2|raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2
Simplificando o numerador:
|0 + 2y + 0 - 2| = |2y - 2|
E o denominador:
raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 5

Agora temos:
4 = |2y - 2|3
Multiplicando ambos os lados por 3 para isolar o valor absoluto:
|2y - 2| = 12
Isso nos dá duas equações:
  1. 2y - 2 = 12
  2. 2y - 2 = -12

Passo 6

Resolvendo a primeira equação:
2y - 2 = 12 2y = 14 y = 7
Resolvendo a segunda equação:
2y - 2 = -12 2y = -10 y = -5

Resposta

Os pontos no eixo O y que estão a uma distância de 4 do plano dado são (0, 7, 0) e (0, -5, 0) .

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