Mostre que os trēs planos
7 x+4 y+7 z+1=0, 2 x-y-z+2=0, x+2 y+3 z-1=0
passam por uma mesma reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos que três planos dados passam pela mesma reta. Isso está ligado à geometria analítica, onde estudamos as posições relativas entre planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de planos e verificar se essa interseção é uma reta comum a todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos três planos:
7x + 4y + 7z + 1 = 0 (Plano 1)
2x - y - z + 2 = 0 (Plano 2)
x + 2y + 3z - 1 = 0 (Plano 3)
Nosso objetivo é encontrar se existe uma reta que está presente em todos esses três planos.

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção dos Plano 1 e Plano 2. Para isso, vamos resolver o sistema formado por essas duas equações:
7x + 4y + 7z = -1 2x - y - z = -2
Isso significa que procuramos valores de x, y, z que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da combinação. Vamos isolar uma variável em uma das equações e substituir na outra. Por exemplo, na segunda equação, podemos isolar y :
2x - y - z = -2 implies y = 2x - z + 2
Agora, substituímos y na primeira equação:
7x + 4(2x - z + 2) + 7z = -1

Passo 5

Expandindo a equação:
7x + 8x - 4z + 8 + 7z = -1
Agora, somamos os termos semelhantes:
15x + 3z + 8 = -1
Subtraindo 8 de ambos os lados:
15x + 3z = -9
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
5x + z = -3

Passo 6

Agora, temos uma relação entre x e z . Vamos expressar x em função de z :
5x = -3 - z implies x = -3 + z5
Vamos chamar z = t , onde t é um parâmetro que representa qualquer número real.
Então,
x = -3 + t5
z = t
E lembrando que y = 2x - z + 2 , substituindo x e z :
y = 2(-3 + t5) - t + 2 = -6 + 2t5 - t + 2
Simplificando:
y = -6 + 2t + 5t5 + 2 = -6 + 7t5 + 2
y = -65 - 7t5 + 2 = 45 - 7t5

Passo 7

Então, a interseção dos Plano 1 e Plano 2 pode ser representada parametricamente como:
x = -3 + t5
y = 4 - 7t5
z = t
Isso descreve uma reta no espaço, onde t varia livremente.

Passo 8

Agora, precisamos verificar se todos esses pontos da reta também satisfazem a equação do Plano 3:
x + 2y + 3z - 1 = 0
Substituindo x, y, z pelas expressões paramétricas:
(-3 + t5) + 2(4 - 7t5) + 3(t) - 1 = 0

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
-3 + t5 + 8 - 14t5 + 3t - 1 = 0
Combining the fractions:
(-3 - t) + (8 - 14t)5 + 3t - 1 = 0
5 - 15t5 + 3t - 1 = 0
1 - 3t + 3t - 1 = 0
0 = 0

Resposta

Como a equação se reduz a uma verdade verdadeira, todos os pontos da reta de interseção dos Plano 1 e Plano 2 também pertencem ao Plano 3. Portanto, os três planos passam pela mesma reta.

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