Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
A transformação linear T: R^3 R^4 dada por T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z) é injetora. ( )

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
Tcolon R^3toR^4
definida por
T(x,y,z) = (x,;x-y,;y-z,;z)
e pede para verificar se T é injetora.
Conteúdo usado: definição de injetividade para transformações lineares via núcleo trivial.

Passo 2

Para T ser injetora, devemos ter ker T = (0,0,0). Então resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0,0),
isto é, as equações
x = 0, x-y = 0, y-z = 0, z = 0
Da primeira segue x=0. Substituindo em x-y=0 vem y=0. Em seguida y-z=0 implica z=0. Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0), ou seja ker T=0. Portanto T é injetora.

Resposta

V

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