Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
A transformação linear
dada por
é sobrejetora. ( )
A transformação linear
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para verificar se ela é sobrejetora. Para isso vamos usar o Teorema do posto e também ver explicitamente quais vetores de
estão na imagem.
Passo 2
Pelo Teorema do Posto,
mas para ser sobrejetora precisamos de
. Como
, não há como
ser sobrejetora.
Passo 3
Para ver na prática, suponha
Então
e por fim precisamos de
, ou seja
Nem todo
satisfaz essa restrição, logo a imagem de
é apenas o hiperplano
, que é um subconjunto próprio de
.
Resposta
F (falsa)