Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
A transformação linear T: R^3 R^4 dada por T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z) é sobrejetora. ( )

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^4, T(x,y,z)=(x,;x-y,;y-z,;z)
e pede para verificar se ela é sobrejetora. Para isso vamos usar o Teorema do posto e também ver explicitamente quais vetores de R^4 estão na imagem.

Passo 2

Pelo Teorema do Posto,
rank(T)<=dim(R^3)=3
mas para ser sobrejetora precisamos de rank(T)=dim(R^4)=4. Como 3<4, não há como T ser sobrejetora.

Passo 3

Para ver na prática, suponha
T(x,y,z)=(a,b,c,d)
Então
x=a, x-y=bimplies y=a-b, y-z=cimplies z=a-b-c,
e por fim precisamos de z=d, ou seja
a-b-c=d
Nem todo (a,b,c,d)inR^4 satisfaz essa restrição, logo a imagem de T é apenas o hiperplano (a,b,c,d):a-b-c=d, que é um subconjunto próprio de R^4.

Resposta

F (falsa)

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