Achar o ponto
da esfera
mais próximo ao plano
e calcular a distância entre
a esse plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto
na esfera dada por
que está mais próximo do plano
Além disso, queremos calcular a distância entre esse ponto
e o plano. Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como equação da esfera, equação do plano e a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral da esfera é
Comparando com a nossa equação,
vemos que o centro da esfera
é
e o raio
é
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ponto
na esfera que está mais próximo do plano. Isso significa que a linha que liga o centro da esfera
ao ponto
é perpendicular ao plano. A direção dessa perpendicular é dada pelo vetor normal do plano.
A equação do plano é
O vetor normal
desse plano é
porque são os coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Passo 4
Vamos encontrar a distância
do centro da esfera
ao plano. A fórmula para a distância de um ponto
a um plano
é
No nosso caso,
,
,
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Sabemos que a distância do centro ao plano é 2, e o raio da esfera é 5. Como 2 é menor que 5, a esfera corta o plano. O ponto
mais próximo do plano estará na linha que liga o centro ao plano, a uma distância igual ao raio menos a distância do centro ao plano.
Para encontrar as coordenadas de
, vamos mover do centro na direção do vetor normal do plano, com um deslocamento proporcional. A fórmula para encontrar o ponto mais próximo
é:
Onde
é o centro,
é a distância, e
é o vetor normal unitário.
Calculando:
Então,
Resposta
O ponto
mais próximo do plano é
e a distância entre
e o plano é de
unidades.