Achar o ponto M da esfera
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25
mais próximo ao plano
3 x-4 z+19=0
e calcular a distância entre M a esse plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto M na esfera dada por
(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25
que está mais próximo do plano
3x - 4z + 19 = 0
Além disso, queremos calcular a distância entre esse ponto M e o plano. Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como equação da esfera, equação do plano e a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral da esfera é
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação,
(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25
vemos que o centro da esfera C é (1, -2, 3) e o raio r é raiz25 = 5 .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto M na esfera que está mais próximo do plano. Isso significa que a linha que liga o centro da esfera C ao ponto M é perpendicular ao plano. A direção dessa perpendicular é dada pelo vetor normal do plano.
A equação do plano é
3x - 4z + 19 = 0
O vetor normal n desse plano é (3, 0, -4) porque são os coeficientes de x , y e z na equação do plano.

Passo 4

Vamos encontrar a distância d do centro da esfera C(1, -2, 3) ao plano. A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, A = 3 , B = 0 , C = -4 , D = 19 , e (x0, y0, z0) = (1, -2, 3) . Substituindo na fórmula:
d = |3(1) + 0(-2) - 4(3) + 19|raiz3^2 + 0^2 + (-4)^2 = |3 + 0 - 12 + 19|raiz9 + 0 + 16 = |10|raiz25 = 105 = 2

Passo 5

Sabemos que a distância do centro ao plano é 2, e o raio da esfera é 5. Como 2 é menor que 5, a esfera corta o plano. O ponto M mais próximo do plano estará na linha que liga o centro ao plano, a uma distância igual ao raio menos a distância do centro ao plano.
Para encontrar as coordenadas de M , vamos mover do centro na direção do vetor normal do plano, com um deslocamento proporcional. A fórmula para encontrar o ponto mais próximo M é:
M = C - d cdot n|n|
Onde C é o centro, d é a distância, e n|n| é o vetor normal unitário.
Calculando:
n = (3, 0, -4), |n| = raiz3^2 + 0^2 + (-4)^2 = 5
Então,
M = (1, -2, 3) - 2 cdot ( 35, 0, -45 ) = (1 - 65, -2 - 0, 3 - -85) = (-15, -2, 235)

Resposta

O ponto M mais próximo do plano é ( -15, -2, 235 ) e a distância entre M e o plano é de 2 unidades.

Exercícios relacionados