Achar os elementos da elipse 9 x^2+16 y^2=16 e da hipérbole 4 x^2-y^2=5.
Distância focal, constantes;

Passo 1

O enunciado pede para a elipse
9x^2+16y^2=16
e para a hipérbole
4x^2-y^2=5
que calculemos a distância focal (isto é, o comprimento do segmento que une os dois focos) e a constante de soma (para a elipse) ou de diferença (para a hipérbole). Vamos primeiro pôr cada cônica na forma padrão e extrair a, b e c.

Passo 2

Para a elipse dividimos por 16:
x^216/9+y^21=1
Logo
a^2=169, b^2=1,
com a>b. Então
a=43, b=1, c^2=a^2-b^2=169-1=79,
logo
c=raiz73

Passo 3

Na elipse, os focos estão em (pm c,0), e a distância focal vale
2c=2cdotraiz73=2raiz73
A constante de soma das distâncias aos focos é
2a=2cdot43=83

Passo 4

Para a hipérbole dividimos por 5:
x^25/4-y^25=1
Assim
a^2=54, b^2=5,
e
a=raiz52, b=raiz5, c^2=a^2+b^2=54+5=254,
logo
c=52

Passo 5

Na hipérbole, os focos estão em (pm c,0), e a distância focal vale
2c=2cdot52=5
A constante de diferença das distâncias aos focos é
2a=2cdotraiz52=raiz5

Resposta

Elipse 9x^2+16y^2=16:
– Distância focal 2c=tfrac2raiz73.
– Constante de soma 2a=tfrac83.
Hipérbole 4x^2-y^2=5:
– Distância focal 2c=5.
– Constante de diferença 2a=raiz5.

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