Sejam
r1:l y=x+1, z=2 x+1 r2:l x=-y+1, z=2 y+1 r3:l x=y+1 z=2 y-1
Determine o ângulo entre as três retas, duas a duas.

Passo 1

O enunciado dá três retas em R^3 definidas por sistemas lineares e pede o ângulo entre cada par delas. Para resolver, vamos transformar cada sistema numa forma paramétrica, extrair seus vetores diretores e usar a fórmula do produto escalar
costheta = ucdot v| u|| v|

Passo 2

Para cada reta, introduzimos um parâmetro e lemos o vetor diretor:
— Reta r1: seja x=t. Então
y=t+1, z=2t+1
e o vetor diretor é
v1=(1,,1,,2)
— Reta r2: seja y=s. Então
x=-s+1, z=2s+1
e o vetor diretor é
v2=(-1,,1,,2)
— Reta r3: seja y=u. Então
x=u+1, z=2u-1
e o vetor diretor é
v3=(1,,1,,2)

Passo 3

Ângulo entre r1 e r2:
v1cdot v2 = 1cdot(-1)+1cdot1+2cdot2 =4,
| v1|=raiz1^2+1^2+2^2=raiz6, | v2|=raiz(-1)^2+1^2+2^2=raiz6,
costheta12=4raiz6,raiz6=46=23, theta12=arccos!l(tfrac23r)

Passo 4

Ângulo entre r1 e r3: como v1= v3, temos
costheta13=1 Longrightarrow theta13=0

Passo 5

Ângulo entre r2 e r3:
v2cdot v3 =(-1)cdot1+1cdot1+2cdot2 =4,
| v2|=raiz6, | v3|=raiz6,
costheta23=46=23, theta23=arccos!l(tfrac23r)

Resposta

theta12=arccos!l(tfrac23r), theta13=0, theta23=arccos!l(tfrac23r)

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