Dada a parábola y=x^2+2 x+4 :
Determine a diretriz da parábola.

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola
y = x^2 + 2x + 4
e pede a equação de sua diretiz. O assunto é seção cônica—parábola vertical—e vamos precisar colocar a função na forma vértice e usar que, para uma parábola vertical,
(x - h)^2 = 4p,(y - k),
onde (h,k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco (positiva se abre para cima).

Passo 2

Vamos completar o quadrado para achar o vértice.
y = x^2 + 2x + 4 = (x^2 + 2x + 1) + 4 - 1 = (x + 1)^2 + 3
Logo a forma vértice é
y = (x + 1)^2 + 3,
o que indica vértice em
(h,k)=(-1,3).

Passo 3

Reescrevendo
(x + 1)^2 = y - 3
comparamos com
(x - h)^2 = 4p,(y - k)
e vemos que 4p = 1. Portanto
;p = tfrac14

Passo 4

Para parábola vertical que abre para cima, a diretiz é a reta
;y = k - p
Substituindo k=3 e p=tfrac14,
;y = 3 - tfrac14 = tfrac124 - tfrac14 = tfrac114

Resposta

A diretiz da parábola é
y = tfrac114

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