Dado o plano pi: x+y+z=3 e a reta y=2 x+1, z=3 x+2,
achar a interseção de r e pi;

Passo 1

O enunciado dá o plano picolon x+y+z=3 e a reta r definida pelas equações paramétricas
y=2x+1, z=3x+2
O que queremos é o ponto em que essa reta cruza o plano. Vamos usar o parâmetro t para descrever a reta e depois impor a equação do plano para achar o valor de t.

Passo 2

Parametrizamos a reta escolhendo x=t. Assim, as coordenadas de um ponto genérico de r ficam
x(t)=t, y(t)=2t+1, z(t)=3t+2
Essa é a descrição completa de r em função de t.

Passo 3

Para achar a interseção, substituímos x(t), y(t) e z(t) na equação do plano pi, ou seja, em
x+y+z=3
Fazendo a troca, temos
t + (2t+1) + (3t+2) = 3

Passo 4

Resolvendo a equação em t:
t + 2t + 1 + 3t + 2 = 3 Longrightarrow 6t + 3 = 3 Longrightarrow 6t = 0 Longrightarrow t = 0

Passo 5

Com t=0, voltamos à parametrização para obter o ponto de interseção:
x(0)=0, y(0)=2cdot0+1=1, z(0)=3cdot0+2=2
Logo, o ponto de interseção é (0,1,2).

Resposta

O ponto de interseção entre a reta r e o plano pi é (0,1,2).

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