Achar os elementos da elipse 9 x^2+16 y^2=16 e da hipérbole 4 x^2-y^2=5.
Assíntotas da hipérbole.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os principais elementos (centro, semi-eixos, vértices, focos e excentricidade) da elipse
9x^2+16y^2=16
e da hipérbole
4x^2-y^2=5,
além das assíntotas da hipérbole.

Passo 2

Para a elipse dividimos a equação original por 16:
9x^216+16y^216=1 Longrightarrow x^216/9+y^21=1
Daí identificamos
a^2=169, b^2=1,
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a=43, b=1,
e o valor c dos focos vem de
c=raiza^2-b^2 =raiztfrac169-1 =raiztfrac79 =raiz73

Passo 3

Com isso os elementos da elipse são:
bul<=t Centro em (0,0).
bul<=t Eixo maior horizontal com semi-eixo a=tfrac43 e vértices em l(pmtfrac43,0r).
bul<=t Eixo menor vertical com semi-eixo b=1 e co-vértices em l(0,pm1r).
bul<=t Focos em l(pmtfracraiz73,0r).
bul<=t Excentricidade
e=ca =tfracraiz73tfrac43 =raiz74

Passo 4

Para a hipérbole dividimos a equação original por 5:
4x^25-y^25=1 Longrightarrow x^25/4-y^25=1
Dessa forma
a^2=54, b^2=5,
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a=raiz52, b=raiz5,
e o parâmetro dos focos é
c=raiza^2+b^2 =raiztfrac54+5 =raiztfrac254 =52

Passo 5

Os elementos da hipérbole são:
bul<=t Centro em (0,0).
bul<=t Eixo transverso horizontal com semi-eixo a=tfracraiz52 e vértices em l(pmtfracraiz52,0r).
bul<=t Eixo conjugado vertical com semi-eixo b=raiz5.
bul<=t Focos em l(pmtfrac52,0r).
bul<=t Excentricidade
e=ca =tfrac52tfracraiz52 =raiz5

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole na forma
x^2a^2-y^2b^2=1
são dadas por
y=pmba,x
Aqui tfracba=tfracraiz5raiz5/2=2, logo as assíntotas são
y=2x e y=-2x

Resposta

(a) Para a elipse 9x^2+16y^2=16
Centro: (0,0)
Semi-eixos: a=4/3 (horizontal), b=1 (vertical)
Vértices: l(pmtfrac43,0r)
Co-vértices: l(0,pm1r)
Focos: l(pmtfracraiz73,0r)
Excentricidade: e=tfracraiz74
(b) Para a hipérbole 4x^2-y^2=5
Centro: (0,0)
Semi-eixo transverso: a=tfracraiz52
Semi-eixo conjugado: b=raiz5
Vértices: l(pmtfracraiz52,0r)
Focos: l(pmtfrac52,0r)
Excentricidade: e=raiz5
(c) Assíntotas da hipérbole:
y=2x e y=-2x

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