Dado o plano pi: x+y+z=3 e a reta y=2 x+1, z=3 x+2,
achar o ângulo entre r e pi.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta r e o plano pi. O conteúdo usado aqui é geometria analítica no espaço, mais precisamente a relação entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano. Para resolver, vamos:
  1. Extrair o vetor diretor d de r.
  2. Extrair o vetor normal n de pi.
  3. Usar a definição do ângulo entre reta e plano, que relaciona d e n.

Passo 2

A reta é dada por
y = 2x+1, z = 3x+2
Tomando x = t como parâmetro, temos
x = t, y = 2t + 1, z = 3t + 2,
logo o vetor diretor é
d = (1,,2,,3)

Passo 3

O plano é pi: x + y + z = 3. Os coeficientes de x,y,z formam o vetor normal, isto é,
n = (1,,1,,1)

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
d cdot n = 1cdot1 + 2cdot1 + 3cdot1 = 6,
| d| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz14, | n| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 5

Seja theta o ângulo entre a reta e o plano. Sabe-se que
sin(theta) = l| d cdot nr|| d|;| n| = 6raiz14,raiz3 = 6raiz42 = raiz427
Portanto
theta = arcsin!l(tfracraiz427r)

Passo 6

Em medida aproximada em graus,
theta approx arcsin(0,926) approx 67,8^circ

Resposta

theta = arcsin!l(6raiz42r)approx 67,8^circ.

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