Achar os elementos da elipse 9 x^2+16 y^2=16 e da hipérbole 4 x^2-y^2=5.
Eixo focal e eixo não-focal;

Passo 1

O enunciado pede os principais elementos da elipse
9x^2 + 16y^2 = 16
e da hipérbole
4x^2 - y^2 = 5
isto é: centro, semi-eixos a e b, excentricidade e, vértices, focos, além de identificar o eixo focal (onde ficam vértices e focos) e o eixo não-focal (perpendicular a ele).

Passo 2

Para a elipse, dividimos ambos os lados de 9x^2+16y^2=16 por 16:
9x^216 + 16y^216 = 1
o que dá
x^216/9 + y^21 = 1
Logo a^2 = tfrac169 e b^2=1. Como a>b, o eixo focal é horizontal (eixo x).

Passo 3

Calcular os parâmetros da elipse:
a = 43, b = 1,
c^2 = a^2 - b^2 = 169 - 1 = 79, c = raiz73, e = ca = raiz7/34/3 = raiz74
Vértices: (pm a,0) = (pm tfrac43,0).
Co-vértices: (0,pm b) = (0,pm 1).
Focos: (pm c,0) = (pm tfracraiz73,0).
Eixo focal: reta y=0.
Eixo não-focal: reta x=0.

Passo 4

Para a hipérbole, dividimos 4x^2-y^2=5 por 5:
4x^25 - y^25 = 1
ou seja
x^25/4 - y^25 = 1
Daí a^2 = tfrac54 e b^2 = 5. O eixo focal é também horizontal (eixo x).

Passo 5

Calcular os parâmetros da hipérbole:
a = raiz52, b = raiz5,
c^2 = a^2 + b^2 = 54 + 5 = 254, c = 52, e = ca = 5/2raiz5/2 = raiz5
Vértices: (pm a,0) = (pm tfracraiz52,0).
Eixo não-focal (conjugado): reta x=0 (vértices imaginários em (0,pm b)).
Focos: (pm c,0) = (pm tfrac52,0).

Resposta

Elipse 9x^2+16y^2=16
Centro: (0,0)
Eixo focal: y=0, semi-eixo a=tfrac43, vértices (pmtfrac43,0)
Eixo não-focal: x=0, semi-eixo b=1, co-vértices (0,pm1)
Focos: (pmtfracraiz73,0)
Excentricidade: e=tfracraiz74
Hipérbole 4x^2-y^2=5
Centro: (0,0)
Eixo focal: y=0, semi-eixo a=tfracraiz52, vértices (pmtfracraiz52,0)
Eixo não-focal (conjugado): x=0, semi-eixo b=raiz5 (vértices imaginários em (0,pmraiz5))
Focos: (pmtfrac52,0)
Excentricidade: e=raiz5

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