Determine a posição relativa das três retas, duas a duas.
Passo 1
O enunciado dá três retas em definidas por equações ligando . O conteúdo é determinar, para cada par de retas, se elas são paralelas, se se intersectam ou se são retas reversas (skew). Para isso vamos: . Escrever cada reta em forma paramétrica e extrair seu vetor diretor. . Comparar vetores diretores para ver paralelismo. . Tentar resolver as equações paramétricas em busca de um ponto comum (interseção).
Passo 2
Escrevendo as retas em forma paramétrica:
Para
vetor diretor
Para . Então
vetor diretor
Para . Então
vetor diretor
Passo 3
Analisando r1 e r2: 1. Vetores diretores não são múltiplos um do outro, pois
v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 2 = (0,,-4,,2)neq0,
logo não são paralelas. 2. Para verificar interseção, igualamos
(t,;t+1,;2t+1) = (-s+1,;s,;2s+1)
Das duas primeiras coordenadas vem t=-s+1 e t+1=s, que dão t=0, s=1. Mas na terceira isso falha (2cdot0+1neq2cdot1+1).
Conclusão: não são paralelas nem se intersectam Rightarrow são retas reversas.
Passo 4
Analisando r1 e r3: 1. Vetores diretores v1=(1,1,2) e v3=(1,1,2) são iguais, logo as retas são paralelas. 2. Para ver se coincidem, tomamos um ponto de r3, por exemplo em u=0 dá (1,0,-1). Substituindo em y=x+1 de r1 temos 0neq1+1, falha.
Conclusão: paralelas distintas.
Passo 5
Analisando r2 e r3: 1. Vetores diretores v2=(-1,1,2) e v3=(1,1,2) não são múltiplos Rightarrow não são paralelas. 2. Igualando parametrizações
(-s+1,;s,;2s+1) = (u+1,;u,;2u-1)
leva a s=u=0 pelas duas primeiras coordenadas, mas falha na terceira (1neq-1).
Conclusão: não paralelas e sem interseção Rightarrow retas reversas.
Resposta
r1 e r2: retas reversas. r1 e r3: paralelas distintas. r2 e r3: retas reversas.