Sejam
r1:l y=x+1, z=2 x+1 r2:l x=-y+1, z=2 y+1 r3:l x=y+1 z=2 y-1
Determine a posição relativa das três retas, duas a duas.

Passo 1

O enunciado dá três retas em R^3 definidas por equações ligando x,y,z. O conteúdo é determinar, para cada par de retas, se elas são paralelas, se se intersectam ou se são retas reversas (skew). Para isso vamos:
1. Escrever cada reta em forma paramétrica e extrair seu vetor diretor.
2. Comparar vetores diretores para ver paralelismo.
3. Tentar resolver as equações paramétricas em busca de um ponto comum (interseção).

Passo 2

Escrevendo as retas em forma paramétrica:
Para
vetor diretor
Para . Então
vetor diretor
Para . Então
vetor diretor

Passo 3

Analisando r1 e r2:
1. Vetores diretores não são múltiplos um do outro, pois
v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 2 = (0,,-4,,2)neq0,
logo não são paralelas.
2. Para verificar interseção, igualamos
(t,;t+1,;2t+1) = (-s+1,;s,;2s+1)
Das duas primeiras coordenadas vem t=-s+1 e t+1=s, que dão t=0, s=1. Mas na terceira isso falha ( 2cdot0+1neq2cdot1+1).
Conclusão: não são paralelas nem se intersectam Rightarrow são retas reversas.

Passo 4

Analisando r1 e r3:
1. Vetores diretores v1=(1,1,2) e v3=(1,1,2) são iguais, logo as retas são paralelas.
2. Para ver se coincidem, tomamos um ponto de r3, por exemplo em u=0 (1,0,-1). Substituindo em y=x+1 de r1 temos 0neq1+1, falha.
Conclusão: paralelas distintas.

Passo 5

Analisando r2 e r3:
1. Vetores diretores v2=(-1,1,2) e v3=(1,1,2) não são múltiplos Rightarrow não são paralelas.
2. Igualando parametrizações
(-s+1,;s,;2s+1) = (u+1,;u,;2u-1)
leva a s=u=0 pelas duas primeiras coordenadas, mas falha na terceira ( 1neq-1).
Conclusão: não paralelas e sem interseção Rightarrow retas reversas.

Resposta

r1 e r2: retas reversas.
r1 e r3: paralelas distintas.
r2 e r3: retas reversas.

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