Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro u que descreve a geratriz e de um parâmetro v que identifique o ângulo de rotação.
(d) Gamma: x^2+z^2=a^2, y=0, a é constante, em torno do eixo dos z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação com . Isso representa um círculo no plano com raio . A tarefa é encontrar a equação cartesiana da superfície que resulta quando giramos esse círculo em torno do eixo . Além disso, precisamos fornecer uma parametrização usando dois parâmetros: para a geratriz (a curva original) e para o ângulo de rotação. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva original. A equação descreve um círculo de raio no plano , onde . Quando giramos esse círculo em torno do eixo , cada ponto do círculo vai descrever um círculo maior ou manter a posição dependendo do ponto. Isso cria uma superfície circularmente simétrica em torno do eixo , que na verdade é um cilindro.

Passo 3

Para encontrar a equação cartesiana da superfície, vamos considerar que, ao girar o círculo em torno do eixo , o valor de vai variar, mas a relação entre e permanecerá a mesma. Assim, a equação da superfície será , mas precisamos ajustar para a rotação em torno do eixo .

Passo 4

Na verdade, como estamos girando em torno do eixo , a distância radial no plano será mantida constante. Portanto, a equação correta da superfície é . Isso descreve um cilindro circular de raio alinhado ao longo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a superfície. Podemos usar para representar a posição ao longo da geratriz (que, no caso do cilindro, é simplesmente a altura ao longo do eixo ) e para o ângulo de rotação em torno do eixo .

Passo 6

A parametrização fica assim:
x = a cos(v) y = a sin(v) z = u
Aqui, varia de a para completar a rotação, e pode variar ao longo de todo o eixo .

Resposta

A equação cartesiana da superfície é x = a cos(v) y = a sin(v) z = u . Uma parametrização da superfície de revolução é:
onde é o parâmetro da geratriz e é o ângulo de rotação.

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