Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro que descreve a geratriz e de um parâmetro que identifique o ângulo de rotação.
(d) é constante, em torno do eixo dos .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação com . Isso representa um círculo no plano com raio . A tarefa é encontrar a equação cartesiana da superfície que resulta quando giramos esse círculo em torno do eixo . Além disso, precisamos fornecer uma parametrização usando dois parâmetros: para a geratriz (a curva original) e para o ângulo de rotação. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva original. A equação descreve um círculo de raio no plano , onde . Quando giramos esse círculo em torno do eixo , cada ponto do círculo vai descrever um círculo maior ou manter a posição dependendo do ponto. Isso cria uma superfície circularmente simétrica em torno do eixo , que na verdade é um cilindro.
Passo 3
Para encontrar a equação cartesiana da superfície, vamos considerar que, ao girar o círculo em torno do eixo , o valor de vai variar, mas a relação entre e permanecerá a mesma. Assim, a equação da superfície será , mas precisamos ajustar para a rotação em torno do eixo .
Passo 4
Na verdade, como estamos girando em torno do eixo , a distância radial no plano será mantida constante. Portanto, a equação correta da superfície é . Isso descreve um cilindro circular de raio alinhado ao longo do eixo .
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a superfície. Podemos usar para representar a posição ao longo da geratriz (que, no caso do cilindro, é simplesmente a altura ao longo do eixo ) e para o ângulo de rotação em torno do eixo .
Passo 6
A parametrização fica assim:
Aqui, varia de a para completar a rotação, e pode variar ao longo de todo o eixo .
Resposta
A equação cartesiana da superfície é x = a cos(v) y = a sin(v) z = u . Uma parametrização da superfície de revolução é:
onde é o parâmetro da geratriz e é o ângulo de rotação.