Achar a projeção do vetor A=i-2 j+k sobre o vetor B=4 i-4 j+7 k.

Passo 1

Estamos vendo um exercício de álgebra vetorial onde precisamos achar a projeção do vetor sobre o vetor . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro e precisarão calcular o produto escalar e o módulo do vetor sobre o qual estamos projetando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é projeção de um vetor sobre outro. A projeção de projB(A) = ( A cdot B|B|^2 ) B sobre é o vetor que representa a sombra de na direção de . Matematicamente, ela é dada por:
Isso quer dizer que precisamos calcular o produto escalar de e , e o módulo de .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto escalar de dois vetores A cdot B = (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7) = 4 + 8 + 7 = 19 e é dado por:
Aplicando os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de |B| = raizb1^2 + b2^2 + b3^2 ao quadrado, que é |B|^2 = (4)^2 + (-4)^2 + (7)^2 = 16 + 16 + 49 = 81 . O módulo de um vetor é:
Então,

Passo 5

Com o produto escalar e o módulo de projB(A) = ( 1981 ) B = 1981 (4i - 4j + 7k) ao quadrado calculados, podemos aplicar a fórmula da projeção:
projB(A) = ( 7681 )i - ( 7681 )j + ( 13381 )k
Multiplicando cada componente:

Resposta

A projeção do vetor projB(A) = 7681i - 7681j + 13381k sobre o vetor é:

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