Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
(b) 2 x^2-3 y^2-4 z^2-12 x-6 y-21=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza da quádrica dada pela equação . Estamos trabalhando com geometria analítica espacial, mais especificamente com superfícies quádricas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis e para colocar a equação na forma padrão da quádrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 2x^2 - 12x - 3y^2 - 6y - 4z^2 = 21 , e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis 2(x^2 - 6x) e (-3)^2 = 9 . Começando com 2(x^2 - 6x + 9 - 9) = 2((x - 3)^2 - 9) = 2(x - 3)^2 - 18 :
Fatorando o coeficiente de :
Para completar o quadrado, tomamos metade do coeficiente de dentro do parênteses, que é , e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro do parênteses:

Passo 4

Fazemos o mesmo para -3(y^2 + 2y) :
Fatorando o coeficiente de 1^2 = 1 :
-3(y^2 + 2y + 1 - 1) = -3((y + 1)^2 - 1) = -3(y + 1)^2 + 3
Metade do coeficiente de é , e ao quadrado fica:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:

Passo 5

Substituímos as expressões completadas na equação original:
2(x - 3)^2 - 18 - 3(y + 1)^2 + 3 - 4z^2 = 21
Simplificando os termos constantes:
2(x - 3)^2 - 3(y + 1)^2 - 4z^2 - 15 = 21
2(x - 3)^2 - 3(y + 1)^2 - 4z^2 = 36

Passo 6

Dividimos toda a equação por 36 para normalizar:
2(x - 3)^236 - 3(y + 1)^236 - 4z^236 = 1
Simplificando as frações:
(x - 3)^218 - (y + 1)^212 - z^29 = 1

Passo 7

Agora, a equação está na forma padrão de uma hiperbolóide de duas folhas ou uma de uma folha, dependendo dos sinais. Observando os sinais dos termos:
(x - 3)^218 - (y + 1)^212 - z^29 = 1
Temos um sinal positivo para e negativos para e , indicando que é uma hiperbolóide de uma folha.

Resposta

O centro da quádrica é e a quádrica é um hiperbolóide de uma folha.

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