Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza da quádrica dada pela equação
. Estamos trabalhando com geometria analítica espacial, mais especificamente com superfícies quádricas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis
e
para colocar a equação na forma padrão da quádrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
. Começando com
:
Fatorando o coeficiente de
:
Para completar o quadrado, tomamos metade do coeficiente de
dentro do parênteses, que é
, e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro do parênteses:
Passo 4
Fazemos o mesmo para
:
Fatorando o coeficiente de
:
Metade do coeficiente de
é
, e ao quadrado fica:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Passo 5
Substituímos as expressões completadas na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Dividimos toda a equação por 36 para normalizar:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, a equação está na forma padrão de uma hiperbolóide de duas folhas ou uma de uma folha, dependendo dos sinais. Observando os sinais dos termos:
Temos um sinal positivo para
e negativos para
e
, indicando que é uma hiperbolóide de uma folha.
Resposta
O centro da quádrica é
e a quádrica é um hiperbolóide de uma folha.