Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente identificar, esboçar e dizer se a quádricada da equação
é uma superfície de revolução. A matéria que vamos mexer aqui envolve geometria analítica, especificamente superfícies quádricas. Pra resolver, vamos precisar entender o que são essas superfícies e o que define uma superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície quádricas estamos lidando. A equação dada é
. As superfícies quádricas são formas geométricas definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Aqui, temos termos quadráticos em
,
e
.
Passo 3
Vamos analisar os sinais dos termos quadráticos:
-
tem sinal positivo, -
tem sinal negativo, -
tem sinal positivo.
Isso sugere que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas, porque temos dois termos com sinais iguais e um com sinal diferente.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a superfície. Um hiperboloide de duas folhas tem duas “folhas” separadas que se estendem indefinidamente. No nosso caso, a equação
indica que a abertura ocorre ao longo dos eixos onde os termos positivos predominam, que são
e
.
Passo 5
Vamos verificar se essa superfície é uma superfície de revolução. Superfície de revolução é aquela gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um dos eixos coordenados. Observando a equação
, vemos que não há simetria que permita rotacionar uma curva simples para formar essa superfície. Além disso, a presença do termo
quebra qualquer simetria circular em torno de um eixo.
Passo 6
Então, concluímos que a superfície
é um hiperboloide de duas folhas, mas não é uma superfície de revolução porque não possui a simetria necessária para ser gerada por rotação de uma curva em torno de um eixo.
Resposta
A quádricada
é um hiperboloide de duas folhas e não é uma superfície de revolução.