Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro que descreve a geratriz e de um parâmetro que identifique o ângulo de rotação.
(e) , em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede pra gente encontrar a equação cartesiana da superfície que resulta da rotação da curva em torno do eixo . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa uma elipse no plano . Essa elipse tem seus eixos no plano , com semi-eixos de comprimento 4 nas direções e em .
Passo 3
Agora, queremos girar essa elipse em torno do eixo . Quando fazemos isso, cada ponto da elipse descreve um círculo no espaço tridimensional. A superfície formada por essa rotação é chamada de superfície de revolução.
Passo 4
Para encontrar a equação cartesiana da superfície resultante, substituímos por e por , onde é a distância do ponto ao eixo e é o ângulo de rotação.
Passo 5
Como a rotação é em torno do eixo , a distância ao eixo é dada por . Substituindo na equação da elipse:
Ou seja,
Passo 6
Agora, para a parametrização, vamos usar dois parâmetros: para descrever a geratriz (a elipse original) e para o ângulo de rotação.
A elipse original pode ser parametrizada por:
Passo 7
Ao rotacionar a elipse em torno do eixo , o parâmetro entra como o ângulo de rotação, afetando as coordenadas e . A parametrização final fica:
Resposta
A equação cartesiana da superfície de revolução é x = 4 cos u cos v y = 4 cos u sin v z = 2 sin u .