Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro u que descreve a geratriz e de um parâmetro v que identifique o ângulo de rotação.
(e) Gamma: x^2+4 z^2=16, y=0, em torno do eixo dos z.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede pra gente encontrar a equação cartesiana da superfície que resulta da rotação da curva em torno do eixo . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa uma elipse no plano . Essa elipse tem seus eixos no plano , com semi-eixos de comprimento 4 nas direções e em .

Passo 3

Agora, queremos girar essa elipse em torno do eixo . Quando fazemos isso, cada ponto da elipse descreve um círculo no espaço tridimensional. A superfície formada por essa rotação é chamada de superfície de revolução.

Passo 4

Para encontrar a equação cartesiana da superfície resultante, substituímos por e por , onde é a distância do ponto ao eixo e é o ângulo de rotação.

Passo 5

Como a rotação é em torno do eixo r^2 + 4 z^2 = 16 , a distância x^2 + y^2 + 4 z^2 = 16 ao eixo é dada por . Substituindo na equação da elipse:
Ou seja,

Passo 6

Agora, para a parametrização, vamos usar dois parâmetros: x = 4 cos u z = 2 sin u y = 0 para descrever a geratriz (a elipse original) e para o ângulo de rotação.
A elipse original pode ser parametrizada por:

Passo 7

Ao rotacionar a elipse em torno do eixo x = 4 cos u cos v y = 4 cos u sin v z = 2 sin u , o parâmetro entra como o ângulo de rotação, afetando as coordenadas e . A parametrização final fica:

Resposta

A equação cartesiana da superfície de revolução é x = 4 cos u cos v y = 4 cos u sin v z = 2 sin u .
A parametrização em função dos parâmetros e é:

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