Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro u que descreve a geratriz e de um parâmetro v que identifique o ângulo de rotação.
(b) Gamma: x=4-y^2, z=0, em torno do eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação cartesiana da superfície que resulta ao girar a curva Gamma: x = 4 - y^2, z = 0 em torno do eixo dos x. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e parametrizações de superfícies. Vamos precisar entender como uma curva no plano pode ser girada em torno de um eixo para formar uma superfície tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a curva Gamma: x = 4 - y^2, z = 0. Essa é uma parábola que está no plano xz, já que z = 0. Se imaginarmos o gráfico dessa curva, ela abre para o lado negativo do eixo x.

Passo 3

Agora, queremos girar essa parábola em torno do eixo dos x. Isso significa que, para cada ponto na curva original, vamos criar um círculo no espaço tridimensional, onde o eixo dessa circunferência é o eixo dos x. Para descrever essa nova superfície, precisamos relacionar os coordenadas y e z com o ângulo de rotação.

Passo 4

Para fazer isso, vamos usar coordenadas polares no plano yz. Se chamarmos v o ângulo de rotação em torno do eixo x, podemos expressar y e z em termos de v:
y = r cos(v)
z = r sin(v)
Onde r é a distância do ponto à origem no plano yz. Da curva original, sabemos que x = 4 - y^2, então substituindo r cos(v) por y, temos:
x = 4 - (r cos(v))^2
Mas como r é constante para cada círculo de rotação, podemos simplesmente considerar r = y, então:
x = 4 - y^2

Passo 5

Agora, para parametrizar a superfície, vamos usar dois parâmetros: u, que vai representar a posição ao longo da curva geratriz (neste caso, y), e v, que representa o ângulo de rotação ao redor do eixo x. Então, nossa parametrização fica:
x = 4 - u^2 y = u cos(v) z = u sin(v)
Aqui, u varia ao longo da curva original ( u in R) e v varia de 0 a 2pi para completar a rotação.

Resposta

A equação cartesiana da superfície é x = 4 - (y)^2 - (z)^2. Uma parametrização da superfície é
x = 4 - u^2 y = u cos(v) z = u sin(v)
onde u descreve a geratriz e v é o ângulo de rotação.

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