Achar a equação cartesiana de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Para cada delas, forneça uma parametrização em função de um parâmetro que descreve a geratriz e de um parâmetro que identifique o ângulo de rotação.
(b) , em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação cartesiana da superfície que resulta ao girar a curva em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e parametrizações de superfícies. Vamos precisar entender como uma curva no plano pode ser girada em torno de um eixo para formar uma superfície tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a curva . Essa é uma parábola que está no plano , já que . Se imaginarmos o gráfico dessa curva, ela abre para o lado negativo do eixo .
Passo 3
Agora, queremos girar essa parábola em torno do eixo dos . Isso significa que, para cada ponto na curva original, vamos criar um círculo no espaço tridimensional, onde o eixo dessa circunferência é o eixo dos . Para descrever essa nova superfície, precisamos relacionar os coordenadas e com o ângulo de rotação.
Passo 4
Para fazer isso, vamos usar coordenadas polares no plano . Se chamarmos o ângulo de rotação em torno do eixo , podemos expressar e em termos de :
Onde é a distância do ponto à origem no plano . Da curva original, sabemos que , então substituindo por , temos:
Mas como é constante para cada círculo de rotação, podemos simplesmente considerar , então:
Passo 5
Agora, para parametrizar a superfície, vamos usar dois parâmetros: , que vai representar a posição ao longo da curva geratriz (neste caso, ), e , que representa o ângulo de rotação ao redor do eixo . Então, nossa parametrização fica:
Aqui, u varia ao longo da curva original (u in R) e v varia de 0 a 2pi para completar a rotação.
Resposta
A equação cartesiana da superfície é x = 4 - (y)^2 - (z)^2. Uma parametrização da superfície é
x = 4 - u^2 y = u cos(v) z = u sin(v)
onde u descreve a geratriz e v é o ângulo de rotação.