Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar, esboçar e dizer se a equação
representa uma superfície de revolução. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente das superfícies quádricas, e entender o que é uma superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma superfície quádica é uma equação de segundo grau em três variáveis (x, y, z). Essas superfícies incluem esferas, elipsoides, hiperbolóides, entre outras.
Passo 3
Agora, uma superfície de revolução é gerada ao girar uma curva plana (como uma circunferência, parábola, etc.) em torno de um eixo fixo. Por exemplo, girar um círculo em torno do eixo z gera uma esfera.
Passo 4
Vamos analisar a equação dada:
. Podemos reescrever essa equação da seguinte forma para facilitar a análise:
Isso nos mostra que a equação representa um elipsoide, já que os coeficientes de
,
e
são diferentes.
Passo 5
Para ser uma superfície de revolução, dois dos três coeficientes dos quadrados devem ser iguais, indicando simetria em torno de um eixo. No nosso caso, os coeficientes são 1, 4 e 9, que são todos diferentes.
Passo 6
Como nenhum par desses coeficientes é igual, não há simetria circular em torno de nenhum dos eixos. Portanto, a superfície não é de revolução.
Resposta
A equação
representa um elipsoide que não é uma superfície de revolução, pois não possui simetria circular em torno de nenhum dos eixos.