Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
g) x^2-4 y^2=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para identificar, desenhar e dizer se a superfície quádrupla dada é uma de revolução. A equação que vamos analisar é:
x^2 - 4 y^2 = 0
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos entender que uma superfície de revolução é formada quando uma curva é girada ao redor de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar que tipo de superfície estamos lidando. Temos:
x^2 - 4 y^2 = 0
Podemos rearrumar isso para:
x^2 = 4 y^2
E então dividir ambos os lados por ( x2y )^2 = 1 (assumindo x^2a^2 - y^2b^2 = 1 ):
Isso nos lembra a forma geral de uma hipérbole, que é:
Então, nossa equação representa uma hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos pensar se essa hipérbole é uma superfície de revolução. Superfícies de revolução são criadas girando uma curva em torno de um eixo. Por exemplo, girar uma parábola em torno de seu eixo de simetria cria um paraboloide de revolução.
No caso da nossa hipérbole, ela tem duas “ramificaç��es” que se abrem para os lados. Se tentarmos girar essa hipérbole em torno do eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao seu plano (digamos, o eixo z), vamos formar uma superfície conhecida como hiperboloid de uma folha.

Passo 4

Vamos esboçar essa superfície. Imagine uma hipérbole 2D com duas linhas que se afastam cada vez mais. Ao girar isso em 3D, cada ponto da hipérbole descreve um círculo, formando um hiperboloid geodésico com duas folhas.

Passo 5

Finalmente, vamos concluir se é uma superfície de revolução. Como giramos uma hipérbole em torno de seu eixo de simetria para formar um hiperboloid, isso confirma que a superfície é de revolução.

Resposta

A equação descreve uma hipérbole que, ao ser girada em torno de seu eixo de simetria, forma um hiperboloid de uma folha. Portanto, essa superfície quádrupla é de revolução.

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