Prove que
e
são subespaços vetoriais de
, onde
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
e
são subespaços vetoriais de
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas para cada conjunto: se o vetor nulo está no conjunto, se o conjunto é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
. Esse conjunto é formado por vetores em
onde a terceira coordenada é zero.
Passo 3
Verificando o vetor nulo em
: O vetor nulo é
. Como
nesse vetor, ele pertence a
.
Passo 4
Fechamento sob adição em
: Seja
e
dois vetores em
. A soma deles é
. Como a terceira coordenada continua zero,
está em
.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação escalar em
: Seja
em
e
um escalar qualquer. Multiplicando
por
, temos
. A terceira coordenada ainda é zero, então
está em
.
Passo 6
Agora, vamos analisar
. Esse conjunto é formado por vetores em
onde as duas primeiras coordenadas são zero.
Passo 7
Verificando o vetor nulo em
: O vetor nulo é
. Como
e
, ele pertence a
.
Passo 8
Fechamento sob adição em
: Seja
e
dois vetores em
. A soma deles é
. As duas primeiras coordenadas continuam zero, então
está em
.
Passo 9
Fechamento sob multiplicação escalar em
: Seja
em
e
um escalar qualquer. Multiplicando
por
, temos
. As duas primeiras coordenadas continuam zero, então
está em
.
Resposta
Assim, mostramos que tanto
quanto
contêm o vetor nulo, são fechados sob adição e multiplicação por escalar. Portanto,
e
são subespaços vetoriais de
.