Prove que S1 e S2 são subespaços vetoriais de R^3, onde
S1=(a, b, c) in R^3 ; c=0 e S2=(a, b, c) in R^3 ; a=b=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que e são subespaços vetoriais de . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas para cada conjunto: se o vetor nulo está no conjunto, se o conjunto é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar . Esse conjunto é formado por vetores em onde a terceira coordenada é zero.

Passo 3

Verificando o vetor nulo em : O vetor nulo é . Como nesse vetor, ele pertence a .

Passo 4

Fechamento sob adição em : Seja e dois vetores em . A soma deles é . Como a terceira coordenada continua zero, está em .

Passo 5

Fechamento sob multiplicação escalar em : Seja em e um escalar qualquer. Multiplicando por , temos . A terceira coordenada ainda é zero, então está em .

Passo 6

Agora, vamos analisar . Esse conjunto é formado por vetores em onde as duas primeiras coordenadas são zero.

Passo 7

Verificando o vetor nulo em : O vetor nulo é . Como e , ele pertence a .

Passo 8

Fechamento sob adição em : Seja e dois vetores em . A soma deles é . As duas primeiras coordenadas continuam zero, então está em .

Passo 9

Fechamento sob multiplicação escalar em : Seja em e um escalar qualquer. Multiplicando por , temos . As duas primeiras coordenadas continuam zero, então está em .

Resposta

Assim, mostramos que tanto quanto contêm o vetor nulo, são fechados sob adição e multiplicação por escalar. Portanto, e são subespaços vetoriais de .

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