Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana da superfície que resulta da rotação da reta em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Vamos precisar entender como uma curva pode gerar uma superfície quando rotacionada e como expressar isso matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . A equação é uma reta no plano , e indica que ela está no plano horizontal. Podemos reescrever essa equação isolando :
Isso nos mostra que para cada valor de , temos um valor correspondente de na reta.
Passo 3
Agora, queremos rotacionar essa reta em torno do eixo dos . Quando rotacionamos uma curva em torno de um eixo, estamos criando uma superfície onde cada ponto da curva gira em torno do eixo, descrevendo um círculo.
Para fazer isso, vamos usar coordenadas cilíndricas. A ideia é expressar as coordenadas em termos de um parâmetro que segue a geratriz (a reta original) e um parâmetro que representa o ângulo de rota��ão.
Passo 4
Vamos definir como o parâmetro que percorre a reta . Da equação , podemos expressar em termos de :
Então,
Como na reta original, mas ao rotacionar em torno dos , o vai variar com o ângulo .
Passo 5
Para a rotação, usamos as equações de rotação ao redor do eixo :
Aqui, é o ângulo que varia de a para completar a rotação completa em torno do eixo .
Passo 6
Agora, temos a parametrização da superfície:
Onde u in R e v in [0, 2pi).
Passo 7
Para encontrar a equação cartesiana da superfície, vamos eliminar os parâmetros u e v. Observamos que x = u, então podemos substituir u por x nas outras equações:
y = (2x - 10) cos v
z = (2x - 10) sin v
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica cos^2 v + sin^2 v = 1:
(y2x - 10)^2 + (z2x - 10)^2 = 1
Multiplicando todos os termos por (2x - 10)^2:
y^2 + z^2 = (2x - 10)^2
Resposta
A equação cartesiana da superfície é y^2 + z^2 = (2x - 10)^2 e uma parametrização é
x = u y = (2u - 10) cos v z = (2u - 10) sin v
onde u varia em todos os números reais e v varia de 0 a 2pi.