Sejam
. Encontre um conjunto de geradores para
e um conjunto de geradores para
.
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem duas subespaços em quatro dimensões, chamados
e
. Cada um deles é definido por uma equação linear:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um conjunto de geradores para cada um desses subespaços. Isso basicamente significa encontrar um conjunto de vetores que, combinados de certa forma, conseguem gerar todos os vetores dentro de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em
. A equação que define
é
. Nosso objetivo é expressar alguns dos componentes (
,
,
,
) em função dos outros para conseguir parametrizar o espaço.
Vamos escolher
,
, e
como variáveis livres. Isso significa que podemos expressar
em termos dessas variáveis:
Agora, podemos escrever um vetor genérico em
usando essas variáveis:
Passo 3
Vamos reescrever esse vetor de uma forma que possamos identificar os vetores geradores:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser obtido combinando esses três vetores. Portanto, um conjunto de geradores para
é:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
. A equação que define
é
. Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo,
:
Assim, um vetor genérico em
pode ser escrito como:
Passo 5
Vamos novamente reescrever esse vetor de uma forma para identificar os vetores geradores:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser obtido combinando esses três vetores. Portanto, um conjunto de geradores para
é:
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
e para
é
.