Sejam U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+t+z=0, V=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y-t+z=0. Encontre um conjunto de geradores para U e um conjunto de geradores para V.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem duas subespaços em quatro dimensões, chamados U e V. Cada um deles é definido por uma equação linear:
  • U=(x, y, z, t) in R^4 ; x - y + t + z=0
  • V=(x, y, z, t) in R^4 ; x + y - t + z=0
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um conjunto de geradores para cada um desses subespaços. Isso basicamente significa encontrar um conjunto de vetores que, combinados de certa forma, conseguem gerar todos os vetores dentro de U e V.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em U. A equação que define U é x - y + t + z = 0. Nosso objetivo é expressar alguns dos componentes ( x, y, z, t) em função dos outros para conseguir parametrizar o espaço.
Vamos escolher y, z, e t como variáveis livres. Isso significa que podemos expressar x em termos dessas variáveis:
x = y - t - z
Agora, podemos escrever um vetor genérico em U usando essas variáveis:
(x, y, z, t) = (y - t - z, , y, , z, , t)

Passo 3

Vamos reescrever esse vetor de uma forma que possamos identificar os vetores geradores:
(x, y, z, t) = y(1, 1, 0, 0) + z(-1, 0, 1, 0) + t(-1, 0, 0, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em U pode ser obtido combinando esses três vetores. Portanto, um conjunto de geradores para U é:
, (1, 1, 0, 0), ; (-1, 0, 1, 0), ; (-1, 0, 0, 1) ,

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para V. A equação que define V é x + y - t + z = 0. Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, x:
x = -y + t - z
Assim, um vetor genérico em V pode ser escrito como:
(x, y, z, t) = (-y + t - z, , y, , z, , t)

Passo 5

Vamos novamente reescrever esse vetor de uma forma para identificar os vetores geradores:
(x, y, z, t) = y(-1, 1, 0, 0) + z(-1, 0, 1, 0) + t(1, 0, 0, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em V pode ser obtido combinando esses três vetores. Portanto, um conjunto de geradores para V é:
, (-1, 1, 0, 0), ; (-1, 0, 1, 0), ; (1, 0, 0, 1) ,

Resposta

Um conjunto de geradores para U é , (1, 1, 0, 0), , (-1, 0, 1, 0), , (-1, 0, 0, 1) , e para V é , (-1, 1, 0, 0), , (-1, 0, 1, 0), , (1, 0, 0, 1) ,.

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