Para cada um dos conjuntos abaixo encontre o subespaço gerado por S.
(a) S=(2,-1) subset R^2.
(b) S=1+t, 1+t^3 subset P3(R), onde P3(R) é o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual que 3 .
© S=(1,1,0),(0,0,1) subset R^3,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o subespaço gerado por alguns conjuntos específicos. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especialmente sobre conceitos de subespaços vetoriais. Vamos precisar entender o que é um subespaço, como ele é gerado por um conjunto e como aplicar isso em diferentes contextos, como vetores em , e espaços de polinômios.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o conjunto . Queremos encontrar o subespaço gerado por esse conjunto.

Passo 3

Um subespaço gerado por um conjunto de vetores é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Como temos apenas um vetor aqui, o subespaço será todas as múltiplas desse vetor.

Passo 4

Então, para span(S) = lambda cdot (2, -1) mid lambda in R , o subespaço gerado é:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço é uma versão escalada do vetor .

Passo 5

Agora, vamos para , onde é o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Nossa missão é encontrar o subespaço gerado por esses dois polinômios.

Passo 6

Aqui também, o subespaço gerado é todas as combinações lineares dos polinômios em span(S) = a(1 + t) + b(1 + t^3) mid a, b in R . Vamos considerar:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
a(1 + t) + b(1 + t^3) = (a + b) + a t + b t^3
Então, qualquer polinômio no subespaço terá a forma , onde , e .

Passo 8

Finalmente, temos . Vamos descobrir o subespaço gerado por esses dois vetores no espaço tridimensional.

Passo 9

Como antes, o subespaço é todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja:
span(S) = a(1, 1, 0) + b(0, 0, 1) mid a, b in R

Passo 10

Vamos calcular essa combinação:
a(1, 1, 0) + b(0, 0, 1) = (a, a, b)
Então, qualquer vetor no subespaço terá a forma , onde e são números reais.

Resposta

span(S) = (a, a, b) mid a, b in R

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