Para cada um dos conjuntos abaixo encontre o subespaço gerado por
.
(a)
.
(b)
, onde
é o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual que 3 .
©
,
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o subespaço gerado por alguns conjuntos específicos. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especialmente sobre conceitos de subespaços vetoriais. Vamos precisar entender o que é um subespaço, como ele é gerado por um conjunto e como aplicar isso em diferentes contextos, como vetores em
,
e espaços de polinômios.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o conjunto
. Queremos encontrar o subespaço gerado por esse conjunto.
Passo 3
Um subespaço gerado por um conjunto de vetores é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Como temos apenas um vetor aqui, o subespaço será todas as múltiplas desse vetor.
Passo 4
Então, para
, o subespaço gerado é:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço é uma versão escalada do vetor
.
Passo 5
Agora, vamos para
, onde
é o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Nossa missão é encontrar o subespaço gerado por esses dois polinômios.
Passo 6
Aqui também, o subespaço gerado é todas as combinações lineares dos polinômios em
. Vamos considerar:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Então, qualquer polinômio no subespaço terá a forma
, onde
,
e
.
Passo 8
Finalmente, temos
. Vamos descobrir o subespaço gerado por esses dois vetores no espaço tridimensional.
Passo 9
Como antes, o subespaço é todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja:
Passo 10
Vamos calcular essa combinação:
Então, qualquer vetor no subespaço terá a forma
, onde
e
são números reais.