Achar a equação da curva cuja 2^a derivada é igual a 4 x, sabendo que a curva passa pelo ponto (1,4) e a sua tangente neste ponto tem uma inclinação de 45^circ sobre o eixo dos x.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma curva y=f(x) cuja segunda derivada satisfaz
y''=4x,
sabendo que ela passa pelo ponto (1,4) e que sua reta tangente em x=1 faz ângulo de 45^circ com o eixo x. Para resolver, vamos integrar duas vezes y'' e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Integramos a segunda derivada para obter a primeira derivada. Como
y''=4x,
temos
y'=integral 4x,dx=2x^2 + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 3

Agora integramos y' para obter y. Assim,
y=integral (2x^2 + C1),dx = 23x^3 + C1 x + C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 4

Usamos a inclinação da tangente em x=1. Como o ângulo é 45^circ, a derivada vale tan45^circ=1. Logo,
y'(1)=2cdot1^2 + C1 =1 Longrightarrow 2 + C1 =1 Longrightarrow C1=-1

Passo 5

Usamos o fato de a curva passar por (1,4), ou seja, y(1)=4. Substituindo em
y(1)=23cdot1^3 + (-1)cdot1 + C2 =4
obtemos
23-1 + C2 =4 Longrightarrow -13 + C2 =4 Longrightarrow C2 = 133

Resposta

boxedy = 23x^3 - x + 133

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