Achar a equação da curva cuja
derivada é igual a
, sabendo que a curva passa pelo ponto
e a sua tangente neste ponto tem uma inclinação de
sobre o eixo dos
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma curva
cuja segunda derivada satisfaz
sabendo que ela passa pelo ponto
e que sua reta tangente em
faz ângulo de
com o eixo
. Para resolver, vamos integrar duas vezes
e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Integramos a segunda derivada para obter a primeira derivada. Como
temos
onde
é constante de integração.
Passo 3
Agora integramos
para obter
. Assim,
onde
é outra constante de integração.
Passo 4
Usamos a inclinação da tangente em
. Como o ângulo é
, a derivada vale
. Logo,
Passo 5
Usamos o fato de a curva passar por
, ou seja,
. Substituindo em
obtemos