Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
d yd x=-xy ; y(4)=3

Passo 1

Beleza, temos um exercício de equações diferenciais onde a gente precisa colocar a equação na forma de variáveis separáveis e resolvê-la. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar manipular a equação para isolar os termos com y de um lado e os com x do outro, e depois integrar ambos.

Passo 2

A equação que nos foi dada é:
dydx = -xy
A ideia da separação de variáveis é conseguir escrever essa equação de forma que todos os y fiquem de um lado e os x do outro. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por y e por dx :
y , dy = -x , dx

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado.
integral y , dy = integral -x , dx

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
  • No lado esquerdo:
integral y , dy = y^22 + C1
  • No lado direito:
integral -x , dx = -x^22 + C2
Aqui, C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Podemos simplificar as constantes combinando C1 e C2 em uma única constante C :
y^22 = -x^22 + C
Para facilitar, multiplicamos toda a equação por 2:
y^2 = -x^2 + 2C
Podemos renomear 2C como uma nova constante K :
y^2 + x^2 = K

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial fornecida, que é y(4) = 3 , para encontrar o valor de K .
Substituindo x = 4 e y = 3 na equação:
3^2 + 4^2 = K 9 + 16 = K K = 25

Passo 7

Com o valor de K encontrado, a solução da equação diferencial fica:
y^2 + x^2 = 25

Resposta

A solução para a equação diferencial é y^2 + x^2 = 25 .

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