Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de
.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de equações diferenciais onde a gente precisa colocar a equação na forma de variáveis separáveis e resolvê-la. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar manipular a equação para isolar os termos com
de um lado e os com
do outro, e depois integrar ambos.
Passo 2
A equação que nos foi dada é:
A ideia da separação de variáveis é conseguir escrever essa equação de forma que todos os
fiquem de um lado e os
do outro. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
e por
:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado.
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
- No lado esquerdo:
- No lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 5
Podemos simplificar as constantes combinando
e
em uma única constante
:
Para facilitar, multiplicamos toda a equação por 2:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial fornecida, que é
, para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, a solução da equação diferencial fica:
Resposta
A solução para a equação diferencial é
.