Ache uma solução do problema de valores no contorno
y^prime prime+4 y=0, y(pi8)=0, y(pi6)=1
se a solução geral da equação diferencial é y(x)=C1 sen 2 x+C2 cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor de contorno
y'' + 4y = 0, yl(tfracpi8r)=0, yl(tfracpi6r)=1
sabendo que a solução geral é
y(x)=C1sin(2x)+C2cos(2x)
O que precisamos fazer é usar as condições de contorno para achar C1 e C2.

Passo 2

Impondo yl(tfracpi8r)=0 temos
yl(tfracpi8r) = C1sinl(2cdottfracpi8r) + C2cosl(2cdottfracpi8r) = C1sinl(tfracpi4r) + C2cosl(tfracpi4r) = raiz22(C1+C2) = 0
Logo
C1 + C2 = 0 Longrightarrow C2 = -C1

Passo 3

Impondo yl(tfracpi6r)=1 e substituindo C2=-C1:
yl(tfracpi6r) = C1sinl(tfracpi3r) + C2cosl(tfracpi3r) = raiz32C1 + 12C2 = raiz32C1 - 12C1 = raiz3-12,C1 =1
Dessa equação vem
C1 = 2raiz3-1 = raiz3+1, C2 = -(raiz3+1)

Passo 4

Substituindo os coeficientes na solução geral, obtemos
y(x) = (raiz3+1)sin(2x) - (raiz3+1)cos(2x) = (raiz3+1)l[sin(2x)-cos(2x)r]

Resposta

y(x) = (raiz3+1)l[sin(2x)-cos(2x)r]

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