Determine se qualquer uma das funções
y1(x)=sen 2 x y2(x)=x y3(x)=12 sen 2 x
é solução do problema de valor inicial
y^prime prime+4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar, entre as três funções
y1(x)=sin(2x), y2(x)=x, y3(x)=tfrac12sin(2x),
qual(is) satisfaz(em) o problema de valor inicial
y'' + 4y = 0, y(0)=0, y'(0)=1
O conteúdo é resolução de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Para resolver a EDO usamos a equação característica
r^2 + 4 = 0
cuja raiz é r = pm 2,i. Daí a solução geral é
y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)

Passo 3

Impondo as condições iniciais:
,y(0)=A=0, logo y(x)=Bsin(2x).
Calculamos
y'(x)=2Bcos(2x),
e como y'(0)=2B=1 segue B=tfrac12. Portanto a única solução do PVI é
y(x)=tfrac12sin(2x)

Passo 4

Agora comparamos com as funções dadas:
  • y1(x)=sin(2x) tem y1'(0)=2neq1, falha na condição y'(0)=1.
  • y2(x)=x não satisfaz y''+4y=0 (pois y''+4y=4xneq0).
  • y3(x)=tfrac12sin(2x) coincide exatamente com a solução que encontramos.

Resposta

Apenas y3(x)=tfrac12sin(2x) é solução do problema de valor inicial.

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