Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
d yd x=x^2+2y

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
dydx = x^2 + 2y
pelo método de variáveis separáveis. Vamos usar a técnica de isolar todos os termos em y de um lado e em x do outro para depois integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por y,dx para separar as variáveis:
y,dy = (x^2 + 2),dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral y,dy = integral (x^2 + 2),dx
No lado esquerdo obtemos tfrac12y^2 e no direito tfracx^33+2x, mais uma constante de integração C. Logo
12,y^2 = x^33 + 2x + C

Passo 4

Multiplicando por 2 e redefinindo a constante ( C1=2C) ficamos com a forma implícita da família de soluções:
y^2 = 23,x^3 + 4x + C1

Passo 5

Para obter a forma explícita, isolamos y:
y(x) = pmraiz23,x^3 + 4x + C1,
válido sempre que o radicando for não negativo.

Resposta

A família geral de soluções é dada implicitamente por
y^2 = 23,x^3 + 4x + C
e, explicitamente, por
y(x) = pmraiz23,x^3 + 4x + C

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