Achar a equação da esfera que é tangente a os planos \mathscr{P}_{1}: x+2 y+z-4=0 e \mathscr{P}_{2}: x-y+2 z-5=0 e que tenha seu centro no eixo Z.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera que seja tangente aos planos \mathscr{P}_{1}:x+2y+z-4=0 \mathscr{P}_{2}:x-y+2z-5=0
e cujo centro está no eixo Z.
Como o centro está no eixo Z, seja
C=(0,0,c)
e seja r o seu raio.

Passo 2

Para que a esfera seja tangente a cada plano, a distância do centro C a cada plano deve ser igual a r.
A distância de (0,0,c) ao plano \mathscr{P}_{1}:x+2y+z-4=0 é
d_1 = \frac{\bigl|0+0+c-4\bigr|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}} = \frac{|c-4|}{\sqrt{6}}.
A distância ao plano \mathscr{P}_{2}:x-y+2z-5=0 é
d_2 = \frac{\bigl|0-0+2c-5\bigr|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{|2c-5|}{\sqrt{6}}.

Passo 3

Como d_1 = r e d_2 = r, temos
\frac{|c-4|}{\sqrt{6}} \;=\; \frac{|2c-5|}{\sqrt{6}} \quad\Longrightarrow\quad |c-4| = |2c-5|.
Resolvendo c-4 = 2c-5 ou c-4 = -(2c-5) obtemos
c=1 \quad\text{ou}\quad c=3.

Passo 4

Para cada valor de c calculamos r.
  • Se c=1,
r = d_1 = \frac{|1-4|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{9}{6} = \tfrac{3}{2}.
  • Se c=3,
r = d_1 = \frac{|3-4|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{1}{6}.

Passo 5

Escrevendo a equação geral da esfera (x-0)^2+(y-0)^2+(z-c)^2 = r^2, temos duas soluções:
x^2 + y^2 + (z-1)^2 = \tfrac{3}{2}, \qquad x^2 + y^2 + (z-3)^2 = \tfrac{1}{6}.

Resposta

A esfera desejada pode ser
x^2 + y^2 + (z-1)^2 = \tfrac{3}{2} \quad\text{ou}\quad x^2 + y^2 + (z-3)^2 = \tfrac{1}{6}.

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