Se
e
são matrizes quadradas tais que,
e
. Ache
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- São matrizes quadradas
, e . - Vale a igualdade
. - Vale também
, onde é a matriz identidade (da mesma ordem que ).
O que se pede: calcular a expressão
.
Passo 2
Lembrete rápido e justificativa das operações que vou usar:
- A multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, para matrizes com dimensões compatíveis
. - Se as matrizes são quadradas da mesma ordem, é válido multiplicar qualquer uma à direita ou à esquerda das outras; em particular, é válido multiplicar a igualdade
pela matriz à direita, obtendo . - A matriz identidade
tem a propriedade para qualquer matriz de mesma ordem.
Passo 3
Multiplico a igualdade
à direita por
. Pela propriedade mencionada:
Pela distributividade da multiplicação sobre a soma temos
pois
.
Passo 4
Uso a informação dada
. Substituindo
por
na equação do passo anterior:
Passo 5
Isolo
na igualdade do passo anterior:
Agora calculo diretamente
:
Passo 6
Simplifico a expressão do passo anterior:
Portanto a expressão pedida é igual a
. Força aí — é uma conta direta se souber manipular igualdade matricial e distribuir produtos!