Se A, B e C são matrizes quadradas tais que, A=B C e A+B=I. Ache A C-C

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • São matrizes quadradas A, B e C.
  • Vale a igualdade A = B C.
  • Vale também A + B = I, onde I é a matriz identidade (da mesma ordem que A,B,C).
O que se pede: calcular a expressão A C - C.

Passo 2

Lembrete rápido e justificativa das operações que vou usar:
  • A multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, para matrizes com dimensões compatíveis (XY)Z = X(YZ).
  • Se as matrizes são quadradas da mesma ordem, é válido multiplicar qualquer uma à direita ou à esquerda das outras; em particular, é válido multiplicar a igualdade A+B=I pela matriz C à direita, obtendo (A+B)C=IC.
  • A matriz identidade I tem a propriedade IC = C para qualquer matriz C de mesma ordem.

Passo 3

Multiplico a igualdade A + B = I à direita por C. Pela propriedade mencionada:
(A + B)C = IC.
Pela distributividade da multiplicação sobre a soma temos
AC + BC = C,
pois IC = C.

Passo 4

Uso a informação dada A = BC. Substituindo BC por A na equação do passo anterior:
AC + A = C.

Passo 5

Isolo AC na igualdade do passo anterior:
AC = C - A.
Agora calculo diretamente AC - C:
AC - C = (C - A) - C.

Passo 6

Simplifico a expressão do passo anterior:
(C - A) - C = -A.
Portanto a expressão pedida é igual a -A. Força aí — é uma conta direta se souber manipular igualdade matricial e distribuir produtos!

Resposta

-A

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